3、1937年，俄国数学家维诺格拉多夫(I. M. Vinogradov)无条件地基本证明了奇数的哥德巴赫猜想。维诺格拉多夫定理指出，任何充分大的奇数都能写成三个素数之和。也就是说，在数轴上取一个大数，从这个数往后看，哥德巴赫猜想都对；在这个数前面的奇数，需要用手或计算机来验证。然而，至今计算机还未能触及那个大数。维诺格拉多夫的证明发表之后，又出现了几个新证明。这些证明既简洁，又提供了完全不同的方法。在这些新证明中，一个是俄国数学家林尼克(Yu.V. Linnik)的，再一个是潘承彪先生的；还有英国数学家沃恩(R. C. Vaughan)的。人们认为林尼克是离哥德巴赫猜想很近的人，他对哥德巴赫猜想进行了深入的研究。因为林尼克1941年提出大筛法，林尼克定理指出，虽然我们还不能证明哥德巴赫猜想，但是我们能在整数集合中找到一个非常稀疏的子集，每次从这个稀疏子集里面拿一个元素贴到这两个素数的表达式中去，这个表达式就成立。 这里的k用来衡量几乎哥德巴赫问题向哥德巴赫猜想逼近的程度，数值较小的k表示更好的逼近度。显然，如果k等于0，几乎哥德巴赫问题中2的方幂就不再出现，从而，林尼克的定理就是哥德巴赫猜想。后来林尼克的学生、匈牙利数学家兰易(A.Rényi)深入地研究了大筛法，并在1948年证明了命题1+b。用王元先生的话说，这个b是个天文数字。当时，没有人知道b究竟有多大。这个b的数值依赖于素数在算术级数中平均分布的水平。 陈景润的1+2证明可以变为类似与此相反，是把这个天文数字b分割给最接近这个特大值自然数范围内的偶数的素数，而对应1+2中的“1”。以上结果表明，陈景润先生完成的“2”，就是目前人们通常的哥德巴赫猜想证明。如定理1，有无限多个素数p使得p+2(=5-3)是素数，（3，5），这是第一素数对，它有无限多素数对。定理2，J_2(3)=0，只有一个素数p=3使得p+2(=5-3)和p+4(=7-3)都是素数，（3，5，7），它只有一素数组。定理3，有无限多个素数p使得p+2(=7-5)和p+6(=11-5)都是素数，（5，7，11），这是第一素数组，它有无限多素数组。定理4，有无限多个素数p使得p+2,p+6, p+8(=13-5)都是素数，（5，7，11，13），这是第一素数组，它有无限多素数组……定理50，有无限多个素数p使得5p^3+6, 6p^3+5都是素数，（7，1721，2063）。但以上定理1和定理2是素数分布一个基本规律，到定理50的运用，都类似33×10的8次方内的自然数的规律，它没有证明在特大值自然数范围内也成立，或它没有证明这和在特大值自然数范围内找一个素数很难相矛盾而不矛盾。 4、哥德巴赫猜想证明所用方法，涉及自然数、整数、有理数、无理数、虚数，而不是仅仅是自然数和整数。这是主要的困难。例如哥德巴赫猜想证明涉及的素数巨大，要用类似平方、立方的式子来表达，类似虚数的平方可以变成整数，这使得哥德巴赫猜想证明运用的数学公式，难以篩去素数的数列中插花的虚数。其次，素数中包括2这样的偶数，也使问题复杂化。 例如，哥德巴赫猜想可能不成立属于例外集合，这是在数轴上取定大整数x，再从x往前看，寻找使得哥德巴赫猜想不成立的那些偶数，即例外偶数。x之前所有例外偶数的个数记为E(x)。无论x多大，x之前只有一个例外偶数，那就是2；越过数轴上的0，还有-2。即只有2使得猜想是错的。类似这样一来，哥德巴赫猜想就等价于E(x)永远等于1。当然，直到现在还不能证明E(x)＝1；但是能够证明E(x)远比x小。在x前面的偶数个数大概是x/2；如果当x趋于无穷大时，E(x)与x的比值趋于零，那就说明这些例外偶数密度是零，即哥德巴赫猜想对于几乎所有的偶数成立。这就是例外集合的思路。有人认为，在例外集合这一途径上，有四个证明，其中包括华罗庚先生的著名定理。搞哥德巴赫猜想的人的目标，是要证明E(x)的上界是x的零次方，然而1938年E(x)上界的世界记录基本上是x的1次方，二者相差很远。因此降低该上界中x的方次将是一件很重要的事。
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