考虑3维旋转群SO(3)的无穷小群。三维旋转可以通过绕空间三个独立转轴的2维转动来实现,所以应该有3种可能的类似于公式(1)的无限小转动是: g = 1+ie1A1, (2) g = 1+ie2A2, (3) g = 1+ie3A3, (4) 比较公式(1),这几个式子中多出了符号Ai,这是因为三维空间中绕不同方向轴的旋转是不对易的。将一本书先绕X轴旋转90度,再绕Z轴旋转90度;与将原来同样位置的这本书先绕Z轴旋转90度,再绕X轴旋转90度,在这两个过程中,两次旋转的前后次序不同,造成最后结果不同而证明了这两次转动是不可对易的。因为三维空间旋转不对易,所以SO(3)不是阿贝尔群。这个“非阿贝尔”的性质在它的无穷小群(李代数)上便由算符Ai之间的“李括号”表现出来。对3维旋转群SO(3)而言,3个算符Ai之间的李括号对易子满足下面的对易式: [A1 , A2] = A1A2- A2 A1= i A3 (5) [A2 , A3] = A2A3- A3 A2= i A1 (6) [A3 , A1] = A3A1- A1 A3= i A2 (7) 这些互相不对易的Ai被称之为李群SO(3)的生成元。独立生成元的个数等于李群的阶数,“李群上的李代数”实际上便是研究这些生成元的理论。熟悉微积分的读者会觉得这些公式有点眼熟,它们与微积分中导数的定义在形式上颇为相似。表达式中的(1)是什么呢?并不是简单的实数值1,而是李群中对应于参数e=0时的幺元:(1) = g(0)。所以,如此看来,生成元A似乎就相当于在幺元处对李群流形的参数曲线作微分时切线的斜率,这也就与我们之前所述“李群上的李代数就是幺元上的切空间”的说法一致,生成元则可看作是构成这个切空间的基矢量。旋转群SO(3)有3个参数,切空间是3维的,因而有3个独立的基矢量A1、A2、A3。空间的基矢量可以有多种方式选取,我们可以用对群参数1阶导数的“算符”来表示基矢量。微分算符通常作用在函数上,将一个函数变成另一个函数。量子力学中的微分算符作用在系统的量子态上,将一个量子态变成另一个量子态。 复数和算符在量子力学中不可或缺,量子可观测量的算符等于经典算符乘上一个因子(-i约化h)。生成元算符之间的代数关系,即李括号,表明了李群的对称性。诺特将这种对称性通过系统的拉格朗日量与物理守恒定律联系起来,诺特定理的意思是说,每一个能够保持拉格朗日量不变的连续群的生成元,都对应一个物理中的守恒量。物理对称性有两种:时空对称性和内禀对称性。比如说,空间平移群的生成元,对应于动量守恒定律;时间平移群的生成元,对应于能量守恒定律;旋转群SO(3)的生成元,则对应于角动量守恒定律。 规范不变反映了物理系统的内禀对称性,统一理论标准模型中的规范对称,用U(1)X SU(2)XS U(3)来表示。考察一下最简单的情形:当U(1)群用在电磁规范场中时,所对应的守恒量是什么?电磁场规范变换f→ eiqθ(x)f 的群元素是g=eiqθ(x) ,旋转角θ是群参数,对θ求导后得到生成元= q,所以,对应于电磁规范场U(1)的守恒量是电荷q。根据类似的道理和数学推导,同位旋空间的SU(2)规范变换对应于同位旋守恒,夸克场的SU(3)则对应于“色”荷守恒。此外,除了诺特定理最初所说的连续对称性之外,在量子力学中,某些离散对称性也对应守恒量,例如,对应于空间镜像反演的守恒量是宇称。 由此分析联系看待能量守恒的现代物理及统一,如果要用量子信息看待处理,能量是概率的对称和守恒,似乎才是探索自然奥秘妙不可言的强大秘密武器。 |