2.3 转动的四元数表示 平面内的转动可用复数表示。任意一个复数表示的矢量,乘上单位复数z0 = cos θ + i sin θ , 即表示转动了θ 角。x′+ iy′=(cos θ + i sin θ)(x + iy) , 得 到 转 动的常见矩阵表示 三维空间的转动没有三元数的表示。Sir William Rowan Hamilton发展了四元数,q=a+bi+cj+dk,其中i2 = j2 = k2 = ijk = -1 。把四元数分成标量部分和三维矢量部分,q = (r,v) ,其加法和乘法公式为(r1,v1) + (r2, v2) = (r1 + r2,v1 + v2 ),(r1,v1) (r2,v2) = (r1r2 - v1 ⋅ v2,r1v2 +r2v1 + v1× v2) 。这里面有点乘和叉乘。注意,叉乘只在三维空间成立,或者说叉乘出现在四元数的乘法中。不要求唯一性,叉乘也存在于七维空间的情形,那是八元数的乘法。 用非零四元数乘法来表示实部为零的四元数所构成之三维空间的转动,算法是求共轭v′= uvu-1 。一个单位四元数共轭的效果,若其实部为 cos(θ),则是绕其虚部所确定的矢量转动了2θ 角。这里的基础是,三维的转动可以分解为两个反射。任何三维空间中的定点转动都可以表述为一个矢量u (转动轴)和一个标量θ (转动角)的组合。考察沿一个三维空间单位矢量u= uxi + uyj + uzk 转过θ 角的转动,由欧拉公式q = e1/2θ(uxi + uy j + uzk)=cos θ/2+ (uxi + uyj + uzk) sin θ/2, 共轭算法保证了其是转动θ 角。举例来说,绕正方形对角线转动120 度,转动轴为矢量v= i + j + k , 计算得到转动对应的四元数u =(1 + i + j + k)/2, u-1 =(1 - i - j - k)/2。转动对应变换, f (ai + bj + ck) ↦u(ai + bj + ck)u-1 。计算可得u(ai + bj + ck)u-1 = (ci + aj + bk) , 就是顶角的置换。可见对角线120 度转动保持正方形位置不变。注意,四元数操作的对象是旋量(spinor),其比四元数晚生了60 年。更多的内容,容作者日后补充。 用四元数描述三维转动,有诸多优点:1) 比矩阵表示紧凑;2) 比矩阵表示容易快速计算;3) 一对单位四元数可以表示四维空间的转动;4) 没有奇点的问题。欧拉角就有这个问题,即所谓的gimbal-lock(方向支架锁定)现象,出现于比如pitch~yaw~roll (俯仰-偏航-翻滚)这样的转动系统。当pitch 上下转了90°时,yaw and roll 对应的是同样的运动,有一个自由度丢了。在基于万向节的惯性导航系统中,当飞机垂直俯冲或上升时,pitch为90°,gimbal lock 会造成灾难性后果。 关于转动的群表示,在On quaternions and octonions: their geometry,arithmetic,and symmetry一书中,有holo-icosahedral group,chiroicosahedral group; holo-octahedral group, chiro-octahedral group; holotetrahedral group, chiro-tetrahedral group; holopyramidal group, chiropyramidal group; holo-prismatic group,chiro-prismatic group 等诸概念,这些对量子力学视角下的晶体学的深入理解估计会有帮助,可惜笔者未曾深入学习过不论。有心人可参照三维空间的点群一起修习。在经典力学中, 转动表述为r × (ω× r) 的形式,有点不对劲儿,应该表述成四元数──Clifford 代数。这些知识笔者没系统学过,怪不得David Hestenes 都说他做不动了。 2.4 Planetary rotation 我们的家园是由太阳—地球—月亮组成的三体体系,当然还有几大行星作邻居,遵从平方反比律的万有引力联系着远方。有心引力场──来自外部的和自身的──之下的星体做着各种复杂的转动。我们的地球自转着(rotate),所以我们看到天上的星星自东向西运动着,几乎每天都能看到月落日升的场面。大约在1500—1528 年间,阿拉伯人Al-Birjandi 发展了“circular inertia”4)理论解释地球的转动。哥白尼(Nicolaus Copernicus) 1543 年出版了De revolutionibus orbium coelestium (On the Revolutions of the Celestial Spheres) ,汉译为《天体运行论》,此处的revolution 应是关于太阳的公转。这是科学史上的大事件,引发了Copernican Revolution,对后来所谓的Scientific Revolution(科学革命)做出了重要贡献。这里的revolution 都是观点的大变动而已。所谓科学革命的说法,是一些研究科学但不做科学研究的学者的论调,即便在西语语境中也都饱受讥讽。马赫认为如果一个人在科学发展中看到了革命,那一定是因为知道的太少。诚哉斯言!牛顿1684年出版了De motu corporum in gyrum(论转动物体的运动)一书,此处用的是gyrum,因为没看过这本书的拉丁文本,拿不准gyrum 到底指的是什么。 对星体转动的认识是一个自发的、漫长的过程。唐诗有“地轴天维转”,天旋地转不知何时已进入我们的日常表达,可见老祖宗对这问题认识已久。笛卡尔提议行星或许是被绕着太阳的一个巨大涡旋(vortex)所拖曳着的。如果涡旋里的流体速度与其离中心的距离成反比,牛顿发现则行星的公转周期(period of revolution)同其离开太阳的距离平方成反比。Revolution 就是所谓的公转,理解这个词的关键在于re-,back。 地球是个绕着一颗恒星太阳revolving 的一大块物质,可按照刚体来处理其运动问题。如果把revolution 理解为滚动(to turn,to roll)的话,那行星要自转简直就是必然。太阳和地球revolve about each other。同时,地球rotate about its axis,spin about its axis。行星的公转(revolving),也是orbiting(the star)。开普勒的行星运动三定律都是关于轨道(orbit)的特征的,描述的是revolution。地球公转一周是365 天,这是用自转周期去标定其公转周期。再强调一遍,所谓的时间,就是用一个不断再现的物理事件去标定其它的物理事件。这个抽象的概念作为描述存在的基础,是智慧,是权宜,也冒着走入死胡同的风险。水星公转周期是88 个地球日,自转周期是59 个地球日。或者换个表述,水星的公转周期约为水星天的一天半。金星有退行自转(retrograde rotation)现象。金星绕(orbiting)太阳的周期是224.7 天,但它的自转周期竟然高达243 天,而且跟其它行星反向rotates。怪异的是,月球绕地球的公转和自转的周期都是27 天7 小时43 分。这个现象应该是一个慢慢演化(evolve)而来的局面,月亮的质量分布不对称并不能完全解释这个现象。顺便说一下,太阳也自转。伽利略与塞尔维亚蒂一道观测太阳黑子,他们将太阳的像投射到纸上,发现了太阳黑子及其在太阳表面上的有规律运动,从而判断太阳也在自转。 因为星体所有的转动行为都是由重力(gravity)引起的,有时候人们干脆就用gravitate 这个动词一言以蔽之。原子是个不可见的行星体系(invisible planetary system),虽然其中不是重力当道,人们也会说在原子中electrons gravitate around a nucleus。 太阳—行星体系是质量严重不对称的两体体系。质量差不多的转动(rotating)双星体系会有更有趣的故事发生。两个大密度的白矮星会orbit each other,当这两个星体spiral closer together ( 螺旋式靠近)时, 其公转周期(period of revolution)会变短。再靠近一点,还可能有吞噬现象发生。 转动总意味着加速度的存在。转动快了,啥意外都会发生。脉冲星(pulsar) 是rotating neutron star。其中的射电脉冲星(radio pulsars,rotation-powered)一般是孤立星体,随着辐射它的自转会慢下来,而X-射线脉冲星因为多是双星体系,会从周围吸积物质,因此其周期会变慢但也有时会变快。 谈论刚体的转动,就必然会遭遇到precession。Precession, 动词形式为preced,precess,来自拉丁语praecedere,字面意思是先行(时间、位置、级别、重要性等方面占先),汉译进动。一个自转的(spinning)物体,比如陀螺,当被施加一个扭矩( 比如来自重力) 改变其转动轴时,一般会引起自转轴在与轴和力矩都垂直的方向上转动(turn),划过一个锥面,此之谓precession。这个turn 的动作就是precede。如果陀螺不是处于自转的状态,扭矩会使其绕水平面内的轴rotate,就倒下啦。地球的转动(rotation),包括intrinsic部分,即自转(rotation,spinning)和precession, 还有nutation ( 章动)。Precession 归于自身重力效应,nutation 归于近处其它物体的引力。地球的进动也称为precessional movement, 转一整圈(completing a rotation) 的周期约25700年。Nutation,来自nutare,to nod,点头。不知道为啥被译为章动,取章何义?难道是因为小说“章回”,把这里的回当成retrograde,返回、退行,从而将章字也用于描述天体运行了? 原子物理中会提到Larmor precession。磁矩在磁场下会有绕磁场B方向的进动,进动频率叫Larmor频率, ω = γB ,其中γ =ge/2m为gyromagneticratio (旋磁比), γ 是gyration的希腊语首字母;g 即是所谓的g-factor。计算g-factor 是个艰难的理论问题。Joseph Larmor 爵士(1857—1942)的定理云:恒定磁场对一个带电粒子运动的影响,与从一个以特定频率旋转的坐标系中观察到的一样。Thomas precession 是对粒子自旋或者自转物体的相对论修正,其将自旋角动量同轨道角动量联系起来。 开普勒定律表明行星轨道是个椭圆,但是因为其它星体的扰动,轨道会precess。Pression of orbit 是个普遍性的问题。水星轨道近日点的进动幅度较大,过去被归结为是一个名叫Vulcan 的未知行星的影响,当前的解释是根据爱因斯坦广义相对论,太阳周围的空间是弯曲的。看,我们总是以我们现有的知识去构造最直观的解释,直到这解释不能自圆其说。行星绕太阳,或者如从前我们认为的那样绕地球revolve,最简单的轨道是圆才好呢。当然实际情况不是这样,于是人们用epicycle(ἐπίκυκλος, upon the cycle) 的概念来构造轨道, 这套理论叫epicycle-on-deferent theory。Deferent 汉译均轮,epicycle 汉译本轮,基本是不顾原词的胡编乱造。Deferent,来自deferre, to carry down or out,承载,如vas deferens 即是输精管。Deferent 就是那个绕地球的大圆,epicycle 就是骑在deferent 的圆。如果epicycle and deferent 不能很好地近似行星的轨道, 那就在epicycle 上再骑上一个epicycle。这种圆上骑着圆的运动是非常powerful的数学, 实际上它可以轻松地近似三角形甚至线段。其一发展是无处不在的傅里叶分析,其威力由此可见一斑。
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