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里奇张量与中国应用数学引力学家

已有 1078 次阅读2016-6-18 00:22 |个人分类:第三次超弦革命

里奇张量与中国应用数学引力学家

郑道

读张生轩教授的博文《那些研究”引力波”的中国应用数学家》,勾起曾对他书的评论“评张生轩《相对论通俗演义》19章中之错”的回忆。《相对论通俗演义》出版发行后好评如潮,上海交通大学的吴新忠博士叫我们快去阅读,确实也感到不错。但我们喜欢“钻牛角尖”,因为彭罗斯出书不断,直指里奇张量的量子引力要害。他说,这种引力指的是大星球当有被绕着的小卫星作圆周运动时,才发生的体积减小变形效应。我们感觉这类似在社会中,普遍存在的“小组织”带动“大组织”的现象。彭罗斯在《皇帝新脑》《时空本性》和《通往实在之路》等书中,非常直观明白作的标准统一解释是

a)韦尔(Weyl)张量,是囊括类似平移运动的相对加速度,在单向的对球面客体的拉长或压扁作用。这与直线或不封闭曲线运动的牛顿力学和韦尔曲率的潮汐形变等对应。b)里奇Ricci张量,是当球面客体有被绕着的物体作圆周运动时,整体体积有同时向内产生加速类似向心力的收缩或缩并、缩约作用。即里奇曲率有体积减少效应。但这里也可以理解为:里奇张量使体积减少是一种协变效应,这种奇妙似乎也包含了韦尔张量。即在只对应一处时,也类似牛顿引力在地球的潮汐效应。

而能说明射影里奇张量整体效应的,是麦克斯韦的电磁场方程:变化的电场产生变化的磁场;变化的磁场产生变化的电场。所以彭罗斯的解释是:“黎曼=韦尔+里奇”。韦尔张量的韦尔是测量类似自由下落的球面的潮汐畸变,即形状的初始变形,而非尺度的变化。里奇张量的里奇是测量类似球面的初始体积改变,这与牛顿引力理论要求下落球面所围绕的质量,和这初始体积的减少成正比相合。即物体的质量密度,或等效的能量密度( E=mc2),应该和里奇张量相等。

19151125日爱因斯坦写的广义相对论引力的方程式是:

R_uv-1/2g_uv R=-8πGT_uv       1

式(1)中左边第一项R_uv,是里奇张量,如果是针对的是圆周运动,正如李政道先生说:物理学不是数学;数学比较容易,物理更难。如果真正从物理读懂相对论的,是彭罗斯的话,那么从里奇张量出发,广义相对论的引力在国际可分为两大学派:爱因斯坦学派和彭罗斯学派。爱因斯坦学派是国际最大的主流之一,包括国内外的反相反量反中医者所持的模型。因为从弹性膜模型你会感到,爱因斯坦对引力里奇张量效应的模拟解释,非常直观明白好懂:是空间弯曲,也是时空弯曲。而且联系韦尔张量,还能联系上量子论。更重要的是,时空弯曲用弹性膜面弯曲模型解释引力波也很漂亮,它突破彭罗斯把里奇张量定制在小客体绕着大物体作圆周运动的局限内,更能好检测引力波:如两个大黑洞碰撞并合发出引力波的信息。

当然彭罗斯的韦尔张量和里奇张量的标准统一解释,实际也整合了爱因斯坦学派的广义相对论和量子力学的统一。彭罗斯学派把里奇张量定制在小客体绕着大物体作圆周运动的局限内,有它的好处:是能更好地运用量子论和正负虚实数量子环圈模型及点内空间模型。爱因斯坦学派的大尺度大范围的弹性膜面里奇张量机制解释,不管有介质还是非介质的连续运动现象,在宏观和微观中都存在,但它不能有超过光速长度类似的“切片”观察。虽然宇宙弦理论似乎在突破这种限制;而量子论的普朗克尺度,对一维线段的宽度和长度本身也隐藏有悖论。例如,宇宙弦的长度虽然超过普朗克尺度的限制,但因宇宙弦的宽度是在无限接近普朗克尺度或甚至低于普朗克尺度,实际宇宙弦是测量不到的。然而这种解决悖论,仍有宇宙弦遇到阻挡时会发生的断裂,难如何解答。因为在超弦理论,是用它们能自动连接起来一撂了之,但这不是连接机制的说明。要“钻牛角尖”也许麦比乌斯圈的从中线剪开,会自动产生圈套圈的现象,但这一系列的圈套圈并不能按序展开排布。

然爱因斯坦学派仍为国际最大主流学派,《那些研究”引力波”的中国应用数学家》也只是绕开这类“钻牛角尖”。张生轩教授等提到研究”引力波”的中国应用数学家,除开郭汉英教授已经去世以及生前一直是批评爱因斯坦相对论的,就不说了;文革前后包括的专家有:曹俊、张双南、苟利军、华罗庚、龚升、陆启铿、吴可、赵峥、刘润球、周培源、丘成桐、王世坤、杨乐、张晓、梁灿彬、曹周键、龚雪飞、潘奕、陈雁北、罗子人、张生轩、尚煜、王䶮、彭秋和、黄超光、徐鹏、范锡龙等。在实际应用中,广义相对论张量计算公式最终要求给出标量,即要有数值解才好进行具体测量和检验。张量讨论的是变标量和变矢量的微分与积分,进入到张量计算虽然已经程式化,但具体做矢量的逆变分量和协变分量、矢量分量的变换、斜角笛卡尔坐标系中的矢积等运算是很复杂的。延伸到里奇张量,有程式化但不是僵化的,而是开放的和发展的。如里奇张量可对应闭弦式弦图,韦尔张量可对应开弦式弦图。按彭罗斯学派把里奇张量定制在小客体绕着大物体作圆周运动的方法上,会不会产生爱因斯坦学派称的时空弯曲类似于水面上的涟漪的引力波呢?

双星的引力波辐射,两个黑洞互绕旋转直到碰撞并合为例,分析发出的引力波和时空弯曲引力涟漪,也同样明显:两个黑洞互绕旋转好像不是一个客体绕着大物体作圆周运动,而类似两个电子互绕方向相反形成的一个电子对的空心圆环圈旋转运动。但圆环圈旋转的中心“空心”,仍可视为一个被绕着的“大物体”。按彭罗斯里奇张量定制方法处理,而显出“空心”这里的“大物体”的整个体积收缩,也可联系时空弯曲及引力涟漪引力波。其次说明这种“虚质量”因里奇张量,也能使双星互绕靠近直到碰撞并合。其实这种里奇张量计算假设的“虚质量大物体”,今天也能意识到,可以设想为是大质量星体已经烧尽核燃料后,通过“塌缩”所达到的一个状态;有的这类时空结构已经被命名为“黑洞”。而且这种求解爱因斯坦广义相对论方程数学结构的方法,早在求解球对称下的史瓦西解和轴对称下的克尔解中运用。这些解所对应的时空中,没有任何质量,貌似是纯时空几何的弯曲。

但目前研究”引力波”的中国应用数学家,是不是也会用彭罗斯学派方法不清楚。张生轩教授只是说,已经做出“数值相对论的模拟,简单得就像码农一样写数值广义相对论的源代码,从事一些引力波模拟数据的分析”。那么他们经历怎样的过程呢?对相对论的认识不在于你反对还是没有反对过,而在于你有没有科学工匠精神,跟上国际科学主流做一些实在的比试合作共赢工作。无可讳言,张生轩教授说,因为文革当时政治形势的需要,中科院也有相对论的批判组“十三室”,分为三个小组,分别叫做引力理论研究小组与引力波实验小组,和粒子物理研究小组。

但批判相对论的政治需要,反而给陆启铿、吴可等人一个学习相对论的机会。反相反量反中医,不可能成为极端组织走向国际科学的主流。事实也是文革结束后,就发生了“科学的春天”,周培源等人非常支持相对论的研究;而国际的相对论学术圈内,也发生了丘成桐与舍恩证明了广义相对论的正质量定理的大事。其实正质量定理也可以用牛顿力学三定理,和刘月生教授的信息增殖猜想获证。陆启铿在丘成桐的影响下,是用旋量分析的方法处理引力波的数学结构。在旋量分析的角度来看,引力波可看成是时空中的韦尔曲率的波动;而韦尔曲率的反对称性质,可以写成很清晰的旋量形式。1987年出版的《旋量与时空》一书中有类似的结果,但陆启铿用的旋量分析方法比此早;然缺点也都如韦尔张量,不能揭示量子信息隐形传输。

陆启铿的科学工匠精神底气,是他熟悉的复变函数论中的“黎曼──希尔伯特”方法,通过求解恩斯特方程这种非线性的偏微分方程,在稳态轴对称的情况下等价于爱因斯坦引力场方程,可求爱因斯坦场方程的解。这是把里奇张量这种复杂的高度非线性的偏微分方程,变换为了另外相对简单的一种非线性的偏微分方程,这当然会丢信息。而王世坤加入进去后,研究上述爱因斯坦场方程的精确解,他们也终于找到一个精确解,被剑桥大学出版社出版的书中收录。1994年刘润球和王世坤在中科院应用数学所组团研究,刘润球开始做“渐近平坦时空结构与相关黑洞理论”的研究,张晓也来数学所一起研究。1999年张晓给出了一个广义相对论角动量的定义,这个定义与坐标选取无关而且没有奇点。在这个定义的基础上,张晓证明把角动量定义包括在内的正质量猜想也成立。这个“带角动量的正质量定理”的文章,当年也发表在丘成桐和舍恩曾发表关于正质量猜想文章的那个权威学术期刊上。

2004年到2005年,刘润球和梁灿彬与赵峥等人,教学培养的曹周键、龚雪飞等一批年轻的相对论学子,也跟刘润球做数值广义相对论。特别是曹周键做的两个黑洞碰撞并合发出引力波的数值模拟,还与美国加州理工学院的潘奕的结构进行相互标定比对。2007年刘润球组的龚雪飞、尚煜和南京大学的王䶮组团,参加美国宇航局lisa科学计划项目空间引力波探测的数据分析挑战赛,中国代表队也取得了不错的成绩。而且南京大学的彭秋和在2006年至2009年,组织过4次引力波数据处理相关的暑期学校,其次,中科院空间中心和刘润球小组等的空间引力波的预研究项目(太极计划的先导研究),2009年还发布了空间引力波探测的路线图:确定先做重力卫星,再做引力波的两步走路线。当时研究组的研究成果,还发表在空间引力波探测lisa计划的会议文集《经典与量子引力》专刊上,赢得了国际同行的关注。2011年后,这篇文章基本上成为“太极计划”的原型。

“太极计划”最终的目标,是做出探测引力波的“收音机”。据刘润球研究组的徐鹏博士讲,现在这个“收音机”的设计图已经快画完了,接下来就要真的去制造这台“收音机”。这个从陆启铿、刘润球等人开头的引力与引力波研究,延展的引力波中国故事,会越来越精彩。但这里我们还想要补充一点意见的是,爱因斯坦学派和彭罗斯学派要结合,正如相对论和量子论要结合,黎曼张量是韦尔张量和里奇张量的结合一样。甚至能量、宇宙、信息、物质等,四者也是结合的。彭罗斯说,爱因斯坦场方程还有许多技术细节,只需知道存在一个称作能量-动量的张量,将有关的物质和电磁场的能量,压力和动量组织在一起就行。所以最好不去搞分裂纠缠。

从“能量”的张量来说,彭罗斯认为爱因斯坦是在他的场方程中,非常粗略地写作:里奇张量=能量张量。而正是在能量张量中“压力”的出现,以及为了使整体方程协调的条件要求,才使压力对体积缩小效应有所贡献。但彭罗斯这种解释引力产生的机制,同引力波解释引力机制一样,并没有说清楚引力何为收缩的拉力的。

从“信息”的隐形量子传输来说,有韦尔张量和里奇张量的结合,才有光速和虚数超光速的配合。信息力量,还来源宇宙分形的痕迹和夸克色禁闭间隙的泄漏。

从“宇宙”的暴涨来说,能量可以靠宇宙弦连续大尺度均匀布局;在此宇宙开端时不会遇到障碍物而发生破断。但暴涨宇宙弦半径也有限度,在暴涨结束后的分形宇宙,变物质的大小两个方向上成团结块的过程中,分形宇宙留下的这类痕迹,其实就是今天霍金等人称的“软毛发”,它们是不平等宇宙起源的基础。

从“物质”的原子结构电子行星轨道模型和原子核质子量子数决定元素序列来说,原子轨道结构是对应里奇张量。而原子核质子量子数中的碳核6和氧核86可构成一对卡西米尔效应平板,8可构成立方体而有三对卡西米尔效应平板;卡西米尔平板链对应韦尔张量。由此生命、智力、信息不是偶然的现象,它们说明引力的收缩量子信息隐形传输,就藏在量子结构,且是自带光速和虚数超光速两部分。

引力无处不在,主导了天、地、宇宙、星系、恒星、行星、苹果、鸟类,等等,有序地形成和演化。但在微观上,引力又和其他基本相互作用不能融合。

陈雁北教授说,爱因斯坦广义相对论的方程数学结构,比苹果表面的几何复杂很多。爱因斯坦方程解的全局性质,以及物理学家所用的数值解法的收敛性问题,至今也还是数学研究的前沿问题。陈雁北和范锡龙教授的解读是:引力波所对应的时空几何,只需要把光滑的苹果想象成粗糙的橘子。橘子表面有两种弯曲的几何结构。大尺度的时空几何对应橘子的半径,代表了相对论宇宙空间中的引力。而量子论的小尺度的几何,如粗糙的点点,代表了引力波。

应该说,把这类点点量子涟漪去联系对应,分布反映在被围绕旋转的星球表面,如彭罗斯说的里奇张量体积收缩的效应信息,是很恰当和形象,而且也说明了相对论与量子论完全能够结合。可惜陈雁北和范锡龙教授还不是大数学家,他们说大尺度的空间弯曲,像橘子的球形;引力波的量子涟漪,像橘子皮上的小皱纹,还不能囊括尽整个大千世界的形状数学分类,其次也没有说到如何去计算这类里奇张量点点量子涟漪信息的方法。而顾险峰教授作为美国纽约州立大学石溪分校终身教授、清华大学丘成桐数学科学中心访问教授、计算共形几何创始人,也许提供了参考信息。他说,微分几何的中心是空间弯曲,空间弯曲的精确表示是各种各样的曲率张量。曲率本身是抽象而费解的概念。直观而言,几何中的曲率就是物理中的力。比如,我们沿着一条空间曲线速度恒定地开车,所感受到的力,就是曲线的曲率。

高斯曲率是内蕴的,通过法丛和曲率微分形式,将其转换为外蕴。法丛理论统一了离散和光滑曲率理论,而庞加莱猜想的证明,虽然雪崩效应还没被大众所察觉,但雪崩已经不可逆转地开始。作为拓扑学最为基本的问题,庞加莱猜想的突破,是给定一个拓扑流形四面体网格的组合结构,可为每条边指定一个长度,使得每个四面体都是一个欧式的四面体,这样就给出了一个黎曼度量。所谓黎曼度量,就是定义在流形上的一种数据结构,使得可以确定任意两点间的最短测地线。黎曼度量自然诱导了流形的曲率。曲率是表征空间弯曲的一种精确描述。给定曲面上三个点,用测地线连接它们成一个测地三角形。如果曲面为欧几里德平面,那么测地三角形内角和为180度。球面测地三角形的内角和大于180度,马鞍面的测地三角形的内角和小于180度。测地三角形内角和与180度的差别就是三角形的总曲率。

给定一个拓扑流形,能否选择一个最为简单的黎曼度量,使得曲率为常数吗?答案是肯定的,这就是曲面微分几何中最为根本的单值化定理。单值化定理是说大千世界,各种几何形状有数目繁多的变种,但是万变不离其宗,解答的方法必须借助于共形几何和经典的计算几何。共形变换是保持角度不变,从某种意义来说,共形变换就是保持德洛内(Delaunay)三角剖分角度不变。共形几何中的单值化定理是说:各种曲面千变万化,不可穷尽;但是在共形变换下,都归结为三种标准曲面中的一种:球面,欧式平面,双曲圆盘,即单位球面,欧几里德平面和双曲平面。单值化定理也断言所有封闭曲面可以配有三种几何中的一种:球面几何,欧氏几何和双曲几何。曲面微分几何中,几乎所有的重要定理都绕不过单值化定理。

但顾险峰教授作为拓扑学家和微分几何学家,也有顾此失彼的地方。例如,环面与球面,拓扑学有不同伦之说,微分几何有亏格之分。用庞加莱猜想定理可证单位球面和单位平面是同伦的,而与环面不同伦。由彭罗斯非常直观明白的韦尔张量和里奇张量统一标准解释,单值化定理也可以断言:球面几何和欧氏几何归属韦尔张量。环面几何归属里奇张量。双曲几何归属庞加莱张量;后者是因庞加莱设计过一种有限而无界的双曲空间宇宙模型,它把正负虚实零配对的全域宇宙张量空间都包括进去了,为正负虚实零的量子信息隐形传输提供了坚实的数学基础,值得永远尊敬。而大千世界的万有引力,实际环面和球面是包含在一起,如原子和原子核。

陈雁北教授说,为了建立引力波信号的理论模型,人们需要求解爱因斯坦的引力方程。爱因斯坦方程作为自然科学中最为复杂的方程之一,针对现实引力波源解析求解基本没有希望,于是人们就寻求数值求解之道。数值相对论是理论研究方向:但对于“过分复杂”的爱因斯坦方程,即使是数值求解也已经折磨得人们痛哭流涕。经过约半个世纪的苦苦挣扎,数值相对论在2005年后得到突破性发展,并在2005至今年的这十年内日臻完善。最终结合广义相对论的后牛顿近似,为成功探测到引力波信号,量身打造的有效单体数值相对论理论模型,才被建立起来。而且望眼欲穿的引力波,可以用4对在真空中,相距4公里的40千克的玻璃镜子的距离,以原子核尺寸千分之一大小的振幅振动的瞬间十几次的测量,观察微乎其微的振动被打在这些镜子上的100千瓦的激光读出。这种人类第一次“近距离的接触”到黑洞的引力波探测的成功,为人类观察宇宙提供了一个崭新的窗口。

这是在一个自由下落的物体参照系中,引力波可以看成是一个“潮汐引力场”。距离这个物体越远的物体,它感受到的引力场越大。在自由物体之间,潮汐引力场会引起它们相对位移按比例的“应变”。引力波的振幅h,通常就用这个应变来代表。虽然地球上产生的引力波很微弱,但宇宙空间天文现象导致足够强的引力波用共振法测量,具体也是用一个很大的金属物体,利用引力波在物体的谐振频率上引起共振的特点,从这个物体的振动中提取引力波的信号。由于引力波对物体之间距离的变化,和物体之间本来的距离成正比。如果把物体之间的距离拉的很远,并且把它们做成镜子,然后用激光测距的方法测量镜子之间的距离,就可以成倍的提高对引力波测量的精度。如1975年天文学家发现一对脉冲双星,1982年通过其轨道频率的演化,推断出了这个双星正在丢失能量,而这个能量丢失率和引力波导致的是一致。这给引力波的存在提供了一个强有力的间接证据,引力波终于从纸上走了出来。美国普林斯顿大学的赫尔斯和泰勒1993年因此获得诺贝尔奖,以表彰他们对新型脉冲星的发现为研究广义相对论和中子星系统,开辟了新的可能性。

这里我们还要补充的是,2016 年见证的虚拟现实/增强现实(VR/AR)技术的实际应用,不但为微分几何提出了新的理论挑战,也涉及研究宇宙“软毛发”、暗物质暗能量的直接相关的逼近理论、几何数据压缩理论、映射和变形理论等方法。在计算机中,光滑曲面都是用三角形多面体网格来近似逼近。由于硬件计算和存储能力有限,所用的三角网格尽量的简单,三角面片尽量的少。这样,如何用简单的离散三角网格来逼近复杂的光滑曲面成为VR/AR应用中的技术关键。顾险峰教授说,历史上有一种错误的观点:认为只要采样密度足够高,三角面片足够小,那么离散曲面自然会逼近光滑曲面。但数学家许瓦茨(Hermann Schwartz早在1880年构造了一个反例,被后世称为许瓦茨的灯笼。

许瓦茨的灯笼是对光滑圆柱面的离散逼近:假设在光滑柱面的等高线上采样,每个等高线上取个采样点,然后建立三角剖分,如此趋向无穷得到一系列离散曲面。可以证明离散曲面到光滑曲面的豪斯道夫距离趋于零,但是离散曲面的面积并不趋于光滑曲面的面积,离散高斯曲率测度并不收敛于光滑高斯曲率测度,离散平均曲率测度也并不收敛于光滑平均曲率测度。数学本质上是因为离散法丛并没有收敛到光滑法丛,但物理上三角剖分的凹陷处暗影,也许是间隙外泄漏出的暗物质暗能量。


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