4、两类芝诺悖论式的点分割 欧几里德几何与庞加莱猜想都有“点”的概念,都把“点”作为最基本的图像,但两者有根本的区别。欧几里德几何的点,被看作是可以无限缩小的0维点,它没有部分、没有大小,这为芝诺悖论的成立提供了相当有力的理论基础。但芝诺悖论的用意是和欧几里德几何对“点”定义不同;芝诺悖论的用意含有点的两类分割:一是正说,实数领域的无理数式的无限分割是能够成立的;这是对欧几里德几何点定义的运用。一是反说,不连续的在实数领域的无理数式的无限分割之外,还有虚数领域的无理数式的无限分割;但芝诺悖论没有明说出来,它是为测试专家型人才中的“智力”,专门留下的一个空白。 庞加莱猜想与芝诺悖论的用意有同功异曲之妙。庞加莱猜想对点的定义,包含了欧几里德几何的没有大小、可以无限缩小的0维点的这部分内容,但它还包含了牛顿力学“质点”是可大可小的,大可到星球宇宙,小可到基本粒子的这部分内容。然而庞加莱猜想的用意还没有完,它还有芝诺悖论用意式的为测试专家型人才“智力”专门留下空白的内容──类似庞加莱猜想逆定理联系的除开点和球面图像外,还有曲点环面和点内空间的图像,这类非对易分割正是芝诺悖论和庞加莱猜想都想说的,在实数领域之外还有虚数生存这种连续。 有人论说在普朗克标度时,芝诺悖论不能成立,原因是不能预先假定空间度量有连续变化的性质。实际这是预先假定空间度量,存在有不可分的最小单元的量子。从经典量子力学来看,这是对的,但不是完备的。也许量子真空物理学并没有理解普朗克标度的另一层含义,即普朗克标度实际也类似一个微型黒洞,普朗克标度就是这个微型黒洞的视界。从这个视界到微型黒洞的“裸点”,虽然还有很长的“距离”,但这类似活物体的“死活”,进入普朗克标度的这个视界,是标明它已经可以划归“死物体”这一类,但只因它还没有消失到“裸点”,所以给它一段“考虑”去留的时间距离,实际占多数都没有意义。 这是普朗克为经典量子力学追随芝诺悖论用意的同功异曲之妙,给测试专家型人才“智力”专门留下的空白。这是20世纪初庞加莱和普朗克这两位伟人,为21世纪留下的工作。 二、轨形拓扑推动的两次超弦革命 1、丘成桐猜想 丘成桐教授曾在“数学与物理前沿”的演讲中说,时空的量子化描述需要更进一步的探讨。物理学家和几何学家都希望能够找寻一个几何结构来描述这个量子化的空间。约在200年前,高斯发现高斯曲率的观念而理解到内蕴几何时,就感叹空间的观念与时而变,和人类对大自然的了解有密切的关系。因为微分几何的张量分析(曲率张量) 在多重尺度分析中,即使在同一点上,也有不同方向的变化,而此种变化亦应当受到能标的影响。当一个图 (graph) 逼近一个几何图形或微分方程的解时,多重尺度分析极为重要,如何解决这些问题无论在纯数学和应用数学都是重要的问题。 近代弦论发现有不同的量子场论可以互相同构然而能标刚好相反,这就可能因此有极小的空间不再有意义的观念改变。在微分方程或微分几何遇到奇异点或在研究渐近分析时,炸开(blowingup)分析是一个很重要的工具,而这种炸开的工具亦是代数几何中最有效的工具。在非线性微分方程中,我们需要更进一步地做定性和定量的分析来研究由炸开得出来的结果,因此对不同能标的量得到进一步的认识。由弦理论得到的启示,有些特殊的子流形或可代替代数流形。 事实上弦理论提供了极为重要的讯息,使得古典的代数几何得到新的突破。我们期望弦理论、代数几何、几何分析将会对四维拓扑有更深入的了解。数学的大统一将会比物理的大统一来得基本,也将由统一场论孕育而出。近代弦论的发展已经成功地将微分几何、代数几何、群表示理论、数论、拓扑学相当重要的部分统一起来。 大自然提供了极为重要的数学模型,很多模型都是从物理直觉或从实验观察出来的,但是数学家却可以用自己的想象,在观察的基础上创造新的结构。几何和数字(尤其是整数)可说是数学里最直观的对象,因此在大统一中起着最要紧的作用。 每次进步都有结构性的变化,例如拓扑学和几何已经融合,三维空间和四维空间的研究非懂几何不可。瑟斯顿猜测,在三维空间上引用几何结构,这些创作新结构的理论有划时代的重要性,正等如19世纪引用黎曼曲面的概念一样重要。 2、轨形拓扑与炸开 拓扑及轨形拓扑与两次超弦革命紧密相联,人们分析得并不多。丘成桐教授开创的卡拉比-丘流形,是紧致空间;超弦理论以紧致空间为特色,但不限于卡拉比--丘流形,还包括轨形、对偶性、镜对称性、引入D膜等方案。例如,互为镜像的两个卡--丘空间,在卷缩维几何形式时,将生成相同的物相同的物理,这种在弦论背景下的一种对称性,称为镜像对称。在物理上等价而几何形式不同的卡--丘流形称为镜像流形。 镜像对称的意义是有些极为困难的计算,在镜像空间中变得相当简单。同一类类型的不同形式,可以不经过它们结构破坏而相互变换。卡--丘流形发生结构破坏的空间变化,称为拓扑改变。翻转变换和锥形变换是弦论中出现的两种拓扑改变。但这些都是几何拓扑的高级内容。例如“炸开”有类似撕裂、断裂的意思,撕裂必然要有粘贴、聚合,这是属于类似轨形拓扑的内容,而已不属于一般拓扑。 卡拉比--丘流形包含了大量撕裂与粘贴的内容,造成大量卷缩维形式的复杂的高维几何图象,我们不谈它,而回过头说弦理论的最初级形式,它的第一、第二次革命,实质上都是属于轨形拓扑内容的革命。例如最初弦理论的几何图象,只是一根短的弦线,虽对“点”是突破,但并不好发展。但经类似轨形拓扑改变的第一超弦革命,使用断裂或聚合的轨形拓扑改变,才懂得把两段弦线粘接成一条弦线,而称开弦;其次,把一段弦线粘接成一个弦圈,而称为闭弦或杂化弦,从而打开了闭弦与开弦相互转化分为杨--米尔斯相互作用和引力相互作用等七种类型和五种弦论的泛函描述。 再说第二次超弦革命为什么要引进“膜”和M理论?联想我们曾用人工实验操作已经证明,一张长方形纸页式的膜面,经过轨形拓扑改变,可以做成25种规范的卡--丘流形轨形拓扑,并且只能做成25种规范的卡--丘流形轨形拓扑,而可以用来与25种基本粒子对应。这其中膜的轨形拓扑改变,很容易包括闭弦与开弦等基本图式。 另外,R--S膜模型是把时间嵌入在反德西特膜中的5维世界模型,它能对应虫洞这类用喉管连接两个基本上平坦的大的空间时间的模型。因为如果把虫洞的喉管区域看成一根弦,把它连接的两个平坦的大的空间时间看成是两张膜,那么这个图像与R--S膜模型是对应的。 同样,我们曾用用人工实验操作证明,R--S膜模型经过轨形拓扑改变,也可以做成25种规范的卡--丘流形轨形拓扑,并且只能做成25种规范的卡--丘流形轨形拓扑。这样就把真空态和弦的量子场基态直接联系了起来。
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