B、庞加莱猜想的尝试说明 首先说明一点,3维空间中的闭曲面都有内部外部,有里外两面。你如何去做一个没有里面外面只有单面的闭曲面呢?你可能会做墨比乌斯带:把矩形带两端反向连结起来形成的图形;如果同时把矩形另外两端也反向连结起来,这就形成一个闭曲面叫克莱因瓶。从制作的过程看到,克莱因瓶是一个只有一面的单面闭曲面。但是你在3维空间中做克莱因瓶总是要穿过自身,无法做成,要增加一维在4维空间中才能做成克莱因瓶。克莱因瓶是单面闭曲面制作方法的代表,从此可以看到,在3维空间中不存在单面的闭曲面。 在3维空间中任意取一个闭曲面,因为它有里外两面,我们总可以取到一个半径适当的球面使它能完全放入闭曲面的内部。然后,我们令球面自由扩张,这一点可以想办法做到,比如通过一根管道向球面内部充气或者将闭曲面抽真空让含有空气的球面膨胀。于是,球面扩张到闭曲面的角角落落,有的球面部分贴着闭曲面内壁,有的曲面部分向空的地方隆起延伸,最后布满闭曲面所有的空间。这就发生两种情形: 第一,球面最后形成的曲面没有自己与自己相碰的地方。这表明原闭曲面实际上也是一个球面。 第二,球面最后形成的曲面出现自己碰到自己的地方了。可能有好几个球面隆起的面相碰,任取其中两个打通相连,这时球面就不再是球面而变成另一种闭曲面了,你不难看出,这个闭曲面实际上是轮胎面。我们当然可以继续打通其它相碰之处,直到完全变成开头所取的闭曲面,但第一次打通已使我们看到原闭曲面是没有单连通性了。 这就表明,3维空间中的闭曲面要么是单连通的球面,要么是没有单连通性的其它曲面。因此,3维空间闭曲面中只有球面是单连通的,换句话说,3维空间中的单连通闭曲面必是球面。 这个猜测能不能推到4维空间中的3维闭曲面上去呢?这就是有名的庞加莱猜想:在4维空间中,3维单连通闭曲面必定是球面。 在3维球面上打一个洞就能把球面展成3维平面,这使我们看到3维球面的单连通性。3维轮胎面可以这样来形成,在4维空间的3维平面中取一个2维球面及球面外一直线,使球面绕着直线转并转出3维空间、转到4维空间中去,如此形成的曲面即为3维轮胎面。因此,3维轮胎面也有一中通的“洞”,同2维轮胎面一样,曲面上围绕“洞”的那个圆就没有办法在轮胎面上缩为一点。 仿照3维空间的情形,我们也可以这样说明庞加莱猜想的正确性。首先,4维空间中不存在单面的即没有内外的3维闭曲面,如果存在,你把这个曲面投影到某一3维空间中去就得到3维空间的单面的2维闭曲面了,这就导出矛盾。这样,对于4维空间中任意一个3维闭曲面,因为它有里面外面,我们总可以取到一个半径适当的3维球面使它能完全放入闭曲面的内部。然后,我们令球面自由扩张,让球面扩张到闭曲面的角角落落,有的球面部分贴着闭曲面内壁,有的球面部分向空的的地方隆起延伸,最后布满闭曲面所有的空间。这也发生两种情形: 第一,球面最后形成的曲面没有自己与自己碰到的地方。这表明原闭曲面实际上也是一个3维球面。 第二,球面最后形成的曲面出现自己碰到自己的地方了。可能有好几个球面部分相碰,我们任取两个打通相连,这时球面就不再是球面而变成另一种闭曲面了。不难看出,这个闭曲面实际上是3维轮胎面。我们当然可以继续打通其它相碰之处,直到完全变成开头所取的闭曲面,但第一次打通已使我们看到原闭曲面是没有单连通性了。 这就表明,4维空间中的3维闭曲面要么是单连通的3维球面,要么是没有单连通性的其它曲面。因此,4维空间3维闭曲面中只有3维球面是单连通的,换句话说,4维空间中的3维单连通闭曲面必是球面。如果你有兴趣,你可以考虑更高维数空间的庞加莱猜想,它们像4维空间的庞加莱猜想一样,已经被人们证明都是对的。 二、庞加莱猜想定理到庞加莱猜想外定理证明 1、田丘之争与佩雷尔曼没有证明庞加莱猜想的外猜想 A、田丘之争 美国克雷数学所千禧七难题全解提示,是指2000年5月24日,美国克雷数学研究所公布的数学难题,这又称世界千禧年大奖难题。这些难题是呼应1900年德国数学家希尔伯特,在巴黎提出的23个历史性数学难题。经过一百年,“千禧难题”之三的庞加莱猜想,已被佩雷尔曼解决。但佩雷尔曼也许没有看到庞加莱猜想,延伸的逆猜想和外猜想,仍有很高的价值,其中包括能突破它剩下的六大难题的全部解决。但21世纪初,美国的新语丝网站(www.xys.org)发表有文章说,新语丝网友的“愚见”──是陈省身“统治”美国数学界几十年,丘成桐是陈省身的学生,丘成桐获菲尔兹奖,是陈省身自私有力的反证。 朱、曹二位是丘成桐的学生,陈省身自私传给了丘成桐;丘成桐自私才是今天的“搅局”。因为包括朱、曹在内的数学家们,不过给佩雷尔曼的大楼铺平了门前的道路,好让克莱数学研究院的专家前来验收时不至于不得其门而入。佩雷尔曼不但造好了大楼,而且封了顶。丘成桐教授不是类似世界杯足球的教练而是“搅局”的解说员。 这种所谓的陈省身自私传给丘成桐,丘成桐自私才抬高学生朱、曹,这是一个“内斗”逻辑,“分裂”逻辑──这对丘成桐和陈省身太不公平了。如果把“科学智慧”和“体育智力”及“考试天才”作比较,约定科学智慧指智能和聪慧;体育智力指智能和体力;考试天才,指在划定的学习范围内,考试成绩顶好。以高考为例,每年各省、市高考状元加起来近百人;这类似每年的体育大赛,如奥运会,必出不少冠军一样。如果把这些奥运会冠军视为有“体育智力”,把高考状元视为“考试天才”,把获国际公认的成人科学大奖的人──如获诺贝尔科学奖的一些人视为有大的“科学智慧”,这里“考试天才”和“科学智慧”两者的不同,是出题的人考“考试天才”,是事先有答案;而获诺贝尔科学奖的一些人,他显露的“科学智慧”,是事先没有答案,出题的人和全世界比出题的人水平高的人,当时也事先没有答案,答案是获诺贝尔科学奖的一些人在不断学习、探索和刻苦工作中,加上他的“科学智慧”和机遇作出的。所以“考试天才”虽有“科学智慧”;“科学智慧”可成“考试天才”,但两者不是全等和可逆的。 “考试天才”对同一类型的考题,每考取胜的可能性很大;而“科学智慧”对同一类型的世界难题,能解答第一个,也能解答第二个的可能性不大。例如,丘成桐30多岁就能解答卡拉比猜想, 获菲尔兹奖,成世界数学大师,但他也不能就解答庞加莱猜想。田刚在丘成桐的指导下,能推进卡拉比--丘成桐( 卡--丘)流形数学,成数学大师,显示了他既是“考试天才”又有“科学智慧”,但也不能抢在别人前面就解答庞加莱猜想。“科学智慧”同“体育智力”一样,要选拔苗子,给予培养训练。“体育智力”和“考试天才”一样,选拔苗子可以通过各地区、各层次不断的比赛,从冠亚军中筛选出。他们的成功,也不会对掌门人的地位、权威够成颠覆性的威胁。但“科学智慧”不同,他的成功,可能对掌门人的学术地位、权威够成颠覆,成为新一代的掌门人。 而很多国家的掌管科学发展的掌门人的学术地位,是和政权机关同步的,颠覆性的威胁是绝对不能容忍的。所以科学不宽容性定理,首先是对“科学智慧”不宽容性。因此,即使是有真“科学智慧”,也需要经受时间的考验和同行高层掌门人的评议。这为解开田丘之争奠定了理论基础──丘成桐和田刚两代人之间,并没有根本性的矛盾和冲突,而仅仅是在选拔破解庞加莱猜想的苗子和在组织破解庞加莱猜想的搭当策略上,两代人的经历、性格发生了分歧。
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