弦论框架现代版表示讲义

1）有人说，有拓扑量子就有拓扑量子场论。这类量子场论开始于20世纪70年代施瓦茨的阿贝尔的陈-塞黑斯场论研究。80年代末在阿蒂亚启发下，弦论学家威滕发展了三个拓扑量子场论研究：一个就是非阿贝尔的陈-塞黑斯场论，用以将琼斯多项式及其衍生物解释为量子物理对象。第二个由超对称杨-米尔斯场论扭变得到，用以将唐纳尔森不变量和弗勒尔瞬子同调解释为量子物理对象。第三个由超对称西格玛模型扭变得到，用以将格罗莫夫的赝全纯曲线和弗勒尔的拉格朗日同调解释为量子物理对象。

1994年威滕应用弦论学家得到的强弱对偶结果，再将唐纳尔森不变量等价为更易计算的塞伯格-威滕不变量。进入21世纪，威滕等人又研究了具有更多超对称的杨-米尔斯场论的扭变, 并将数学中的几何朗兰兹对偶解释为量子场论中的强弱对偶。威滕等人进一步发现, 西格玛模型, 陈-塞黑斯场论, 以及超对称杨-米尔斯场论之间有千丝万缕的联系, 它们都可以包含在弦论或者 M-理论中, 在这个大框架之下, 琼斯多项式的范畴化----霍万诺夫同调被解释为量子物理对象。其共同特征是某些关联函数不依赖于背景时空流形的度量。

2）有人说，这类量子拓扑学大致有三个主题：

a、量子群：通常以“量子泛包络代数”的形式出现。它的一个变形就是量子群。它的所有有限维表示组成一个“张量范畴”。如果李代数是半单的，它是半单范畴，即任何对象都是简单对象的直和。这个半单范畴只有有限个简单对象。利用这个范畴，可以定义出三维流形及其中扭结的 Reshetihkin-Turaev 不变量。

b、三维拓扑场论：最常见的三维拓扑场论是Chern-Simons 规范场论。如果  是一个李群，三维流形上的  -联络称为“规范场”。在所有联络的空间上有一个作用量泛函，Chern-Simons 泛函。由于作用量的定义不涉及三维流形上的黎曼度量, 它定义的量子场论是一个“拓扑场论”，即，场论里的物理量都是三维流形的拓扑不变量。典型的物理量就是“Wilson 圈算子”的真空期望值。所谓“Wilson 圈算子”是规范场空间 (即所有联络的空间) 上的泛函, 它在联络 A 上的取值是 A 沿着某个扭结的 "holonomy" (含义为“完整”。它是规范群 G 中一个元素)在某个群表示 R 中的迹。此期望值，按物理学家的解释，只跟群表示 R 及三维流形中扭结 K 的拓扑性质有关，从而是扭结不变量。这个场论可以做“正则量子化”，即把某一维当作时间，那么“空间”就是一个曲面。在 “空间"”上, 正则量子化从一个辛流形 (经典相空间) 出发得到一个 Hilbert 空间（量子态空间）。这个辛流形由曲面上所有“平坦 G-联络的规范等价类”组成。

1）有人说，有拓扑量子就有拓扑量子场论。这类量子场论开始于20世纪70年代施瓦茨的阿贝尔的陈-塞黑斯场论研究。80年代末在阿蒂亚启发下，弦论学家威滕发展了三个拓扑量子场论研究：一个就是非阿贝尔的陈-塞黑斯场论，用以将琼斯多项式及其衍生物解释为量子物理对象。第二个由超对称杨-米尔斯场论扭变得到，用以将唐纳尔森不变量和弗勒尔瞬子同调解释为量子物理对象。第三个由超对称西格玛模型扭变得到，用以将格罗莫夫的赝全纯曲线和弗勒尔的拉格朗日同调解释为量子物理对象。

1994年威滕应用弦论学家得到的强弱对偶结果，再将唐纳尔森不变量等价为更易计算的塞伯格-威滕不变量。进入21世纪，威滕等人又研究了具有更多超对称的杨-米尔斯场论的扭变, 并将数学中的几何朗兰兹对偶解释为量子场论中的强弱对偶。威滕等人进一步发现, 西格玛模型, 陈-塞黑斯场论, 以及超对称杨-米尔斯场论之间有千丝万缕的联系, 它们都可以包含在弦论或者 M-理论中, 在这个大框架之下, 琼斯多项式的范畴化----霍万诺夫同调被解释为量子物理对象。其共同特征是某些关联函数不依赖于背景时空流形的度量。

2）有人说，这类量子拓扑学大致有三个主题：

a、量子群：通常以“量子泛包络代数”的形式出现。它的一个变形就是量子群。它的所有有限维表示组成一个“张量范畴”。如果李代数是半单的，它是半单范畴，即任何对象都是简单对象的直和。这个半单范畴只有有限个简单对象。利用这个范畴，可以定义出三维流形及其中扭结的 Reshetihkin-Turaev 不变量。

b、三维拓扑场论：最常见的三维拓扑场论是Chern-Simons 规范场论。如果  是一个李群，三维流形上的  -联络称为“规范场”。在所有联络的空间上有一个作用量泛函，Chern-Simons 泛函。由于作用量的定义不涉及三维流形上的黎曼度量, 它定义的量子场论是一个“拓扑场论”，即，场论里的物理量都是三维流形的拓扑不变量。典型的物理量就是“Wilson 圈算子”的真空期望值。所谓“Wilson 圈算子”是规范场空间 (即所有联络的空间) 上的泛函, 它在联络 A 上的取值是 A 沿着某个扭结的 "holonomy" (含义为“完整”。它是规范群 G 中一个元素)在某个群表示 R 中的迹。此期望值，按物理学家的解释，只跟群表示 R 及三维流形中扭结 K 的拓扑性质有关，从而是扭结不变量。这个场论可以做“正则量子化”，即把某一维当作时间，那么“空间”就是一个曲面。在 “空间"”上, 正则量子化从一个辛流形 (经典相空间) 出发得到一个 Hilbert 空间（量子态空间）。这个辛流形由曲面上所有“平坦 G-联络的规范等价类”组成。

1）有人说，有拓扑量子就有拓扑量子场论。这类量子场论开始于20世纪70年代施瓦茨的阿贝尔的陈-塞黑斯场论研究。80年代末在阿蒂亚启发下，弦论学家威滕发展了三个拓扑量子场论研究：一个就是非阿贝尔的陈-塞黑斯场论，用以将琼斯多项式及其衍生物解释为量子物理对象。第二个由超对称杨-米尔斯场论扭变得到，用以将唐纳尔森不变量和弗勒尔瞬子同调解释为量子物理对象。第三个由超对称西格玛模型扭变得到，用以将格罗莫夫的赝全纯曲线和弗勒尔的拉格朗日同调解释为量子物理对象。

1994年威滕应用弦论学家得到的强弱对偶结果，再将唐纳尔森不变量等价为更易计算的塞伯格-威滕不变量。进入21世纪，威滕等人又研究了具有更多超对称的杨-米尔斯场论的扭变, 并将数学中的几何朗兰兹对偶解释为量子场论中的强弱对偶。威滕等人进一步发现, 西格玛模型, 陈-塞黑斯场论, 以及超对称杨-米尔斯场论之间有千丝万缕的联系, 它们都可以包含在弦论或者 M-理论中, 在这个大框架之下, 琼斯多项式的范畴化----霍万诺夫同调被解释为量子物理对象。其共同特征是某些关联函数不依赖于背景时空流形的度量。

2）有人说，这类量子拓扑学大致有三个主题：

a、量子群：通常以“量子泛包络代数”的形式出现。它的一个变形就是量子群。它的所有有限维表示组成一个“张量范畴”。如果李代数是半单的，它是半单范畴，即任何对象都是简单对象的直和。这个半单范畴只有有限个简单对象。利用这个范畴，可以定义出三维流形及其中扭结的 Reshetihkin-Turaev 不变量。

b、三维拓扑场论：最常见的三维拓扑场论是Chern-Simons 规范场论。如果  是一个李群，三维流形上的  -联络称为“规范场”。在所有联络的空间上有一个作用量泛函，Chern-Simons 泛函。由于作用量的定义不涉及三维流形上的黎曼度量, 它定义的量子场论是一个“拓扑场论”，即，场论里的物理量都是三维流形的拓扑不变量。典型的物理量就是“Wilson 圈算子”的真空期望值。所谓“Wilson 圈算子”是规范场空间 (即所有联络的空间) 上的泛函, 它在联络 A 上的取值是 A 沿着某个扭结的 "holonomy" (含义为“完整”。它是规范群 G 中一个元素)在某个群表示 R 中的迹。此期望值，按物理学家的解释，只跟群表示 R 及三维流形中扭结 K 的拓扑性质有关，从而是扭结不变量。这个场论可以做“正则量子化”，即把某一维当作时间，那么“空间”就是一个曲面。在 “空间"”上, 正则量子化从一个辛流形 (经典相空间) 出发得到一个 Hilbert 空间（量子态空间）。这个辛流形由曲面上所有“平坦 G-联络的规范等价类”组成。

c、二维共形场论：前两个都涉及到一个李群(或者李代数), 它也同李群有关。考虑一根闭弦在一个李群G 中运动，其位形空间就是“圈群”LG。圈群的元素，作为位形，是这个系统的基本力学变量。在量子理论中, 态空间必然容许这些变量的作用，所以系统的态空间总是 LG 的表示，由于闭弦本身的参数化, 圈群 LG 被圆圈的自同胚群作用。而圆圈的自同胚群能实现为一维复结构的变换群；容许这个群作用的场论称为共形场论。在共形场论中，物理量的计算归结为 “共形块”(conformal blocks) 的计算. 共形块实际上是 LG 的某一类表示之间的关系。这些表示组成一个张量范畴，如半单，且只有有限个简单对象。利用这些共形块, 也可以定义三维流形及扭结不变量。当李群为单连通紧半单李群时, 以上三种办法得到的不变量相同。

c、二维共形场论：前两个都涉及到一个李群(或者李代数), 它也同李群有关。考虑一根闭弦在一个李群G 中运动，其位形空间就是“圈群”LG。圈群的元素，作为位形，是这个系统的基本力学变量。在量子理论中, 态空间必然容许这些变量的作用，所以系统的态空间总是 LG 的表示，由于闭弦本身的参数化, 圈群 LG 被圆圈的自同胚群作用。而圆圈的自同胚群能实现为一维复结构的变换群；容许这个群作用的场论称为共形场论。在共形场论中，物理量的计算归结为 “共形块”(conformal blocks) 的计算. 共形块实际上是 LG 的某一类表示之间的关系。这些表示组成一个张量范畴，如半单，且只有有限个简单对象。利用这些共形块, 也可以定义三维流形及扭结不变量。当李群为单连通紧半单李群时, 以上三种办法得到的不变量相同。

3）有人说在数学上, 所谓拓扑量子场论的框架，可以统一处理这三种定义。设想一个带边界的三维流形，其中嵌入“开扭结”，开扭结的端点处在三维流形的边界上。这样三维流形的边界实际上是标点的曲面，把边界的连通分支分为“过去”和 “未来”两组. 每一组是一个标点曲面。对标点曲面赋予向量空间 (态空间)，对三维流形赋予从“过去”态空间到“未来”态空间的线性算子。如果三维流形没有边界，那么态空间都是一维的，线性算子就称为一个复数，这个复数就是三维流形加扭结的不变量。那么以上三种定义都给标点曲面一个向量空间。

而通过扩展朗道二级相变理论适用范围，揭示传统的量子相变和拓扑量子相变的内在关系，这是在一种准一维路径上引入自旋算符的约当-维格纳变换，证明Kutaev自旋模型完全等价于一个不含任何非物理自由度的自由A0B9:020 费米子模型。通过对偶变换，进一步证明这个系统中存在的量子相变，可用非定域的拓扑序参量来描述；并且这些非定域的拓扑序参量，在对偶空间变成为定域的朗道类型的序参量。

4）用三旋动画视频联系的拓扑性质，构造拓扑量子计算及拓扑量子计算机，《三旋理论初探》一书指出，类似拓扑量子场论任意子的量子计算机原理中的纰漏是，体旋实际比面旋复杂。而这一点却让量子计算机原理研究的专家所忽视，例如Neil Gershenfeld等人阐释量子计算机能同时处于多个状态且能同时作用于它的所有不同状态的量子陀螺原理图时，对量子位不动的几种陀螺旋转，就分辨不清，明显的错误是把陀螺绕Y轴的体旋称为“进动”，这是不确切的。

三旋动画拓扑量子视频联系崔琦分数电荷量子霍尔效应研究，《三旋理论初探》一书也有专题讨论。三旋动画可以直接观察到类似具有分数电荷和分数统计的粒子，它们在时空中的演变，提供了理解量子计算的快车道。因为在分数量子霍耳效应中的研究表明，二维电子气中存在着量子液体的特殊物态，而不同量子液体由拓扑序，而非普通对称性来描述。拓扑序的特征是量子液体体内有能隙，体系在非平凡的表面上会表现出依赖表面拓扑结构的拓扑简并度，而这种序可以通过无能隙的边缘激发来探测。实验上拓扑量子序可以通过测量从费米流体隧穿到分数量子霍耳流体的电流电压特性来确定。但这会受到背景杂质势和样品边缘束缚势的影响，因而影响了隧穿特征的普适性。而破坏连续对称性的杂质虽降低了系统体内的能隙，但不影响系统的拓扑性质。

5）三旋动画拓扑量子计算成为交叉数学、物理和计算机科学领域的研究方向之一。从三旋动画揭示的分数量子霍耳效应的理论出发，三旋拓扑序导致的基态简并、分数电荷和分数统计，以及相关的辫子群的代数上的相互联系，如三旋拓扑序分数量子霍耳效应的有效理论是为拓扑量子场论陈数对应量子不变量如纽结的Jones多项式，以及相关的图形语言重构三旋拓扑序分数量子霍耳效应边缘态的理论、边缘隧穿中电流电压指数关系的普适性、透过边缘态输运测量分数量子霍耳效应准粒子的电荷和统计提供参考。而非相对论物理学中的拓扑量子数的作用，与普通由对称性定义的量子数相比，拓扑量子数的特点是对系统中的缺陷不敏感。

量子计算要使量子比特完全不被环境的干扰，是不可能的，但可尽量减少量子比特与环境的相互作用。如果量子运算的差错率能够10000步计算中少于一个差错，就能设计出有实际意义的量子计算机。原则上，根本不需要太多的量子比特来制造强大的计算机。根据信息的密度，一个拥有10亿个晶体管的硅微处理器的计算能力大概相当于一个仅仅拥有30个量子比特的量子处理器。三旋动画拓扑量子计算方案有望比其他类型的量子计算机容错能力更强：在一台三旋动画拓扑量子计算机中每个量子比特，都是由一对旋束态量子粒子制成。这种旋束态粒子可以通过量子自旋霍尔拓扑绝缘体与超导体结合研制而成。旋束态拓扑绝缘体拥有一些奇怪的特性，尽管电流无法通过它们，但可以在它们狭窄的外边缘周围通过。如果一小块用于生产两维莱斯拓扑绝缘体附于一块超导体之上，或可适合制造稳定的量子比特。

这里沈致远教授表达了两者的误区，一是反弦论者认为，只有韦内齐亚诺、南部阳一郎、格林、施瓦茨和威滕等人的工作才是正宗的弦论，其他开创弦论而不声张的人都不是，如费曼开创费曼图，是弦论扩容的基础，为什么不给费曼弦论正名；又如盖尔曼开创胶子引力思维，是弦论具有绳索捆绑含义的扩容应用，为什么不给盖尔曼弦论正名；还有斯莫林本来就是研究圈量子理论的，这和弦论的闭弦就有千丝万缕的联系。斯莫林著书批评弦论，实际上是玩弄反弦论者于股掌以赞扬弦论，如王令隽教授引用的“在崇高的普林斯顿高等研究院享受有永久职位的每个粒子物理学家几乎都是弦理论家，唯一的例外是几十年前来这儿的一位。在卡维里理论研究所也是如此。自1981年麦克阿瑟学者计划开始以来，9个学者有8个成了弦理论家。在顶尖的大学物理系（伯克利、加州理工、哈佛、麻省理工、普林斯顿和斯坦福），1981年后获博士学位的22个粒子物理学终身教授中，有20个享有弦理论或相关方法的声誉。弦理论如今在学术机构里独领风骚，年轻的理论物理学家如果不走进这个领域，几乎就等于自断前程”的话，正是斯莫林著书讲的。斯莫林说他反弦论是“假”，争科研经费是“真”。其次王令隽说格拉肖反弦论，但格拉肖却是培养弦论者的高手。不知沈致远、王令隽等反弦论者，认真看过斯莫林的书没有？看懂了格拉肖没有？

二是弦论研究者中一部分人，也过高地孤立地估计了韦内齐亚诺、南部阳一郎、格林、施瓦茨和威滕等人开辟的这一分支弦论的能力。