丘成桐：中国基础科学的发展

易可情 · 发表于: 2003-9-16 18:37:12

　　丘成桐（Shing-Tung Yau），原籍广东省梅州市蕉岭县，1949年出生于广东汕头，同年随父母移居香港，美籍华人，国际知名数学家，菲尔兹奖首位华人得主，美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士、台湾中央研究院院士、中国科学院外籍院士。现任香港中文大学博文讲座教授兼数学科学研究所所长、哈佛大学William Casper Graustein讲座教授、清华大学丘成桐数学科学中心主任。
　　1969年毕业于香港中文大学崇基学院数学系；1971年获得加州大学伯克利分校数学博士（师从陈省身）；1974-1987年任斯坦福大学、普林斯顿高等研究院、加州大学圣地亚哥分校数学教授；1987年起任哈佛大学讲座教授；1993年被选为美国国家科学院院士；1994年成为台湾中央研究院院士和中国科学院外籍院士，同年出任香港中文大学数学科学研究所所长。2003年出任香港中文大学博文讲座教授。
　　2003-9-15日，丘成桐在蕉岭设立“丘成桐奖教奖学基金”，每年捐资1万元人民币作为蕉岭中学高考奖学金。
　　丘成桐证明了卡拉比猜想、正质量猜想等，是几何分析学科的奠基人，以他的名字命名的卡拉比-丘流形，是物理学中弦理论的基本概念，对微分几何和数学物理的发展做出了重要贡献。
　　丘成桐囊括了维布伦几何奖（1981）、菲尔兹奖（1982）、麦克阿瑟奖（1985）、克拉福德奖（1994）、美国国家科学奖（1997）、沃尔夫数学奖（2010）、马塞尔·格罗斯曼奖（2018）等奖项。特别是在1982年度荣获最高数学奖菲尔兹奖，是第一位获得这项被称为“数学界的诺贝尔奖”的华人，也是继陈省身后第二位获得沃尔夫数学奖的华人。

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谁说的等待 · 发表于: 2019-3-29 08:41:41

源自：中国新闻网

　　2019年3月28日，因其在世界数学、物理学等诸多科学研究中作出的卓越贡献，以及对中国数学研究发展的推动与付出，华人盛典组委会公布丘成桐院士获得“世界因你而美丽──2018-2019影响世界华人盛典”终身成就奖。
　　2018年7月2日，第十五届马塞尔格罗斯曼会议在意大利罗马开幕，数学家丘成桐在过去几年先后荣获菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖之后，在这次会上又被授予“马塞尔格罗斯曼奖”，以表彰他在证明广义相对论中总质量的正定性、完善“准局域质量”概念、证明“卡拉比猜想”，以及在黑洞物理研究等工作中的巨大贡献。至此，丘成桐不仅是世界数学界最高荣誉“菲尔兹奖”首位华人得主，也是继陈省身之后第二位获得沃尔夫数学奖的华人，还是获得马塞尔格罗斯曼物理大奖的首位华人数学家。
　　丘成桐，1949年生于广东汕头，同年随父母移居香港。1969年毕业于香港中文大学崇基学院数学系，1971年获加州大学伯克利分校数学博士学位，1976年出任斯坦福大学数学教授，1979年以教授身份回到普林斯顿高等数学研究所。1984年至1987年担任加州大学圣地亚哥分校教授。1987年至今任教于哈佛大学，现为哈佛大学唯一一位数学与物理学终身教授。1993年被选为美国科学院院士，1994年成为中国科学院外籍院士。
　　丘成桐是公认的当代最具影响力的数学家之一，他的工作深刻变革并极大扩展了偏微分方程在微分几何中的作用，影响遍及拓扑学、代数几何、表示理论、广义相对论等众多数学和物理领域，他证明了卡拉比猜想，以他的名字命名的卡拉比-丘流形，是物理学中弦理论的基本概念。他在工程学的各个分支也有很重要的贡献，这些学科包括控制论、图论（应用到社会科学）、数据分析、人工智能和三维图像处理等。
　　丘成桐还长期热心中国的数学研究事业，自1993年以来，他先后创办了香港中文大学数学研究所、北京晨兴数学中心、浙江大学数学科学中心、清华大学丘成桐数学研究中心等教育科研机构。还组织各种层次的会议，并募集大量资金发起各种人才培养计划，设立了丘成桐科学奖、丘成桐大学生数学竞赛和新世界数学奖等奖项，鼓励学生进行创新性学习和研究，为中国培养优秀的数学科技人才。

丘成桐：数学王国里勇敢的思想家
　　2018年7月2日，在意大利罗马开幕的第十五届马塞尔格罗斯曼会议上，数学家丘成桐在先后荣获菲尔兹奖、克拉福德奖、沃尔夫奖之后，又被授予“马塞尔格罗斯曼奖”，以表彰他在证明广义相对论中总质量的正定性、完善“准局域质量”概念、证明“卡拉比猜想”，以及在黑洞物理研究等工作中的巨大贡献。至此，丘成桐不仅是世界数学界最高荣誉“菲尔兹奖”首位华人得主，也是继陈省身之后第二位获得沃尔夫数学奖的华人，还是获得马塞尔格罗斯曼物理大奖的首位华人数学家。而菲尔茨奖和沃尔夫奖的双奖得主，迄今只有13位。
　　早在2010年，丘成桐获得沃尔夫数学奖时，著名数学家、中科院院士杨乐，在接受《科学时报》记者采访时就介绍说：“菲尔茨奖主要颁给40岁以下的数学家，沃尔夫奖则具有终身成就性质。除此之外，丘成桐还曾获克雷福德奖，这是瑞典皇家科学院为了弥补诺贝尔奖的奖项空白而设立的大奖，6年才颁一次。三奖并获的以前只有数学家德利涅（Deligne），丘成桐是第二人。此外，他还获得过数学界许多其他著名奖项。这些都说明，丘成桐的工作的确非常杰出。”
　　国际数学大师唐纳森（Singer Donaldson）认为，丘成桐应该是“近1/4世纪里最有影响的数学家”。美国《纽约时报》曾刊登过丘成桐的人物报道，标题是《数学界的国王》，把丘成桐称为“数学王国的凯撒大帝”，其中则包含着对他不屈不挠，勇往直前个性的概括与赞扬，认为这是他成功的重要基石。
　　著名代数几何学家F博戈莫洛夫在评价丘成桐时说：“丘成桐教授毫无疑问是当今世界的领袖数学家之一。每次与他的谈话都会生出一些全新的、了不起的思想或非凡的问题。他是一位勇敢的思想家，面对难题知难而上，永不止步。”

立志做大学问
　　丘成桐：“立志要做大学问，只不过是一刹那的事，往往感情澎湃，不能自已。”
　　丘成桐1949年生于广东汕头，同年随父母移居香港。父亲丘镇英，曾在香港中文大学前身的崇基书院担任哲学教授。在丘成桐七八岁的时候，丘镇英每星期都会在家里举办“讲论会”，与学生们畅谈中外文史，丘成桐常常坐在一边默默地听，无形中似乎得到了哲学思维训练的启蒙。“事实上，我觉得我在学习了几何以后更深刻地理解了我父亲所研究的哲学。”丘成桐说。
　　1963年，父亲的猝然离世，让只有14岁的丘成桐一下子成熟了起来。他边读书边打短工、做家教，帮助母亲解决部分生活费及自己的学费，在这种生活的磨练中培养了他的韧性和吃苦耐劳的精神。而善于提出问题的做法也是他在中学时代养成的，就是在走上数学研究道路之后，这种思维方式和作法也成了他在研究事业上取得成功的关键，为此他付出再多的努力也丝毫不觉得苦。丘成桐说：“生活的挫折对人往往还是有好处的。就像饥饿，或者折磨，你能够站得住，始终对你是个经验和很重要的磨炼。”
　　在父亲去世的巨大哀伤中，丘成桐曾一度躲入古典文学的世界寻求安慰。他开始大量阅读和背诵秦汉、六朝的古文，读司马迁的《史记》等。大量阅读古籍的结果是，丘成桐对做学问的兴趣忽然变得极为浓厚，义无反顾。丘成桐后来回忆说：“立志要做大学问，只不过是一刹那的事，往往感情澎湃，不能自已。”他认为，四十年来，自己研究学问、处世为人、屡败屡进未曾气馁，这种坚持的力量可以追溯到当日感情的突破。
　　在丘成桐做学生的时候，没有音响、没有电视，只有文章，他就每天不停地读文章、找问题、深思考。他回忆说：“当时我在伯克利念研究生，一个月给我三百块钱助学金，我寄一半给家里，剩下一半就吃饭跟住房，我觉得很愉快。对我来讲学问的研究比金钱重要得多，甚至讲人生以后的出路问题我觉得也不重要。我的想法就是只要我把学问做好，我自然能够解决这些问题。”
　　爱因斯坦将万有引力归结为扭曲时空的几何。丘成桐在1976年，刚刚26岁的时候，对卡拉比猜想的证明阐明了“万有理论”所要求的十维时空大部分都卷曲起来，消失于现在被称为卡拉比-丘空间的视野之外。三年后，丘成桐又证明了另外一个关于爱因斯坦广义相对论的重要结果：爱因斯坦方程的任何解都必须具有正能量。从此，丘成桐开始了他跨学科的研究生涯。
　　2010年，丘成桐因为“在几何分析方面的贡献已对几何和物理的许多领域产生深远而引人瞩目的影响”，而获得了沃尔夫奖。其颁奖说明指出：丘成桐“几十年来一直非常‘高产’”。他解决了一系列猜想和重大课题；是几何分析学科的奠基人；其对现代数学和理论物理的好几个领域，如微分几何、偏微分方程、代数几何、代数拓扑等都有重要影响；以他和卡拉比命名的“卡拉比—丘”流形已经成为数学和理论物理经常用到的基本概念。沃尔夫奖的颁奖说明上还谈到，除了学术上的成就，丘成桐“之所以在世界范围的数学研究方面有巨大影响，还因为他训练了为数众多的研究生，建立了好几个活跃的数学研究中心”。

致力人才培养
　　丘成桐：“任何学术的创新，都要基于文化传统的土壤。一个没有文化的国家，做不了好学问。”
　　丘成桐深受中国传统文化的影响，并坚信帮助中国推动数学发展是自己的责任。2011年7月，岳麓书社重新整理出版丘镇英《西洋哲学史》，在其后记中，丘成桐写道：“在艰难的生活中，父亲还是极度关心儿女和学生的教育，时常教导我们：做人立志必须以国家为前提。父亲的教导和榜样始终使我不能忘怀。”
　　1979年，丘成桐受中科院原数学所所长华罗庚先生之邀第一次访华，之后多次到中国科学院进行高质量的讲学和学术交流。90年代以后，丘成桐一直致力于推动中国的数学研究和人才培养，像钻研数学问题那样想方设法。他培养来自中国的留学生，建立数学研究所与研究中心，组织各种层次的会议，并募集大量资金，发起各种人才培养计划。1994年，他在香港中文大学建立数学研究所；1996年，在中科院数学院建立晨兴数学中心；2002年浙江大学数学中心建成；2009年12月又在清华大学建立了一个数学中心。丘成桐是这些研究机构的主任，经常例行工作视察，作报告，指导学生，组织学术会议与暑期学校等。为了增进华人数学家的交流与合作，丘成桐发起组织国际华人数学家大会，每三年一届。每次大会的焦点是颁发晨兴数学奖、陈省身奖。为了激发中学生对于数学研究的兴趣和创造力，培养和发现年轻的数学天才，2004年，丘成桐首先在香港成立了面向香港中学生的、两年一届的“恒隆数学奖”。2008年，丘成桐中学数学奖正式成立。
　　作为丘成桐在大陆建立时间最长的数学中心，晨兴中心倾注了丘成桐很多心血。他每年都要来晨兴多次，不来的时候也经常通过邮件和电话关心中心的工作和项目进行情况，“忙的时候一天好几个Email和长途电话。”
　　丘成桐对算术代数几何非常重视。算术代数几何是近代数学中一个非常重要的分支，但前些年这个领域在国内甚至许多亚洲国家，几乎都是空白。经过丘成桐的大力倡导，晨兴中心开展了很多研究活动。“现在国内在这个领域内已经有比较好的研究工作和人才了。”杨乐说。“年轻学者如果按照丘成桐的思路来做，能很快成长”。
　　晨兴中心曾经主办过很多重要的国际学术会议，如国际数学家大会和弦理论大会；也组织过各种规模的国际交流，既包括请霍金等著名学者作五六千人的公众演讲，也有几百人的学术会议，以及几十人参加的小型研讨与专题研究。杨乐说：“国内外很多学者参加了晨兴的活动后，评价都相当高，这是与丘成桐的努力和贡献分不开的。”
　　丘成桐是著名数学家，更是一位深具情怀的知识分子；他是几何分析的开创者，也是一位能文善书的诗人。他成名甚早，但却不被声名所累，积极在国内作数学科学的普及，为培育人才不遗余力。尽管数学科学的推广并非一朝一夕的事，但丘成桐总是会用自己的经历鼓励年轻人：“我从来不怕失败，我做学问往往失败90多次，最后一次，我觉得总会有成功的可能。事实上，我想从这个意义上讲，我从来没有失败过。我们今天的年轻人要晓得这个事情，只要你的目标是正义的，就算有成败的事，其实并不重要。因为你成功的希望其实是很大的，有时候比你想象的大得多，这是我一生的感想。”
　　“世界因你而美丽──2018-2019影响世界华人盛典”颁奖礼将于3月30日晚（星期六）在北京凤凰中心华美登场，各奖项最终花落谁家将一一揭晓。届时，各主办媒体机构将对盛典活动进展进行全程关注和报道。
　　“世界因你而美丽──2018-2019影响世界华人盛典”由凤凰卫视及凤凰网发起、中国新闻社及世界华文媒体集团联合发起，并连同二十余家海内外最富影响力的华语媒体共同主办。

谁说的等待 · 发表于: 2017-10-28 10:42:00

源自：雷锋网

　　雷锋网AI科技评论消息，2017年10月26日上午，第十四届中国计算机大会（CNCC 2017）正式在福州海峡国际会展中心开幕，雷锋网作为独家战略合作媒体，对大会进行了全程报道。
　　在大会第一天，菲尔兹奖获得者、哈佛大学终身教授丘成桐在会上作为特邀嘉宾做了首个演讲报告，报告主题为《现代几何学在计算机科学中的应用》。
　　报告中丘成桐先生首先介绍了现代几何的发展历史，随后介绍了他与他的学生及朋友在计算机与几何交叉方面的一些研究。对于人工智能，丘成桐先生认为现代以神经网络为代表的统计方法及机器学习在工程实践中取得了很大的成功，但其理论基础非常薄弱，是一个黑箱算法；人工智能需要一个可以被证明的理论作为基础。
　　下面为雷锋网（公众号：雷锋网）AI科技评论根据丘成桐先生演讲内容整理，内容在不改变原意的情况下稍有修改。

胡事民（大会程序主席，清华大学教授）：
　　大家都知道，计算机科学离不开数学，早期的计算机都是数学家帮我们奠定了基础。今天的第一个报告，我们非常荣幸地邀请到了著名的数学家、数学界最高奖菲尔兹奖获得者、哈佛大学教授丘成桐。丘老师不仅是伟大的数学家，他也在计算机方面做了很多工作。他开创了计算共形几何，广泛地应用在图形学、视觉传感器等方面。最近丘先生还在Nature上发表了一篇文章，研究社交网络。下面我们有请丘先生。

丘成桐演讲全文：
　　今天很荣幸地收到你们的邀请来做一个演讲。我本人在数学上的贡献不在计算机数学，最近这十多年来，由于我的学生顾险峰以及其他朋友的缘故，他们叫我帮忙做些跟计算机有关的学问。我发觉，纯数学，尤其是几何学在计算机方面有很大的应用。所以我今天就滥竽充数，讲讲几何跟计算机数学的关系。

一：现代几何的历史
　　首先，前面几分钟讲讲几何学历史。几何学一开始，就类似今天的人工智能，有很多工程上的应用以及产生的很多定理。不过随后欧几里得将当时主要的平面定理组合以后发现这些定理都可以由5个公理推出来。这是人类历史上很重要的一个里程碑，在很繁复的现象里，他找到了很简单但却很基本的五个公理，从而能将原来的这些公理全部推出来。我是很鼓励我们做人工智能的也能重复这个做法──从现在复杂多样的网络中找到它最简单的公理。
　　由于希腊人的工具不够，所以除了二次方程定义的图形（圆形、直线、椭圆等）以外，他们没有能力处理更一般的图形。一直到阿基米德，才开始做微积分的无限算法（积分体积），同时他们也开始做射影几何的算法。
　　微积分的出现使几何学进入了新纪元，微分几何也因此诞生。几何学在欧拉和高斯手上突飞猛进，变分方法和组合方法被大量地引入到几何学当中。
　　现代几何（近两百年的几何）主要发源于黎曼在1854年的博士论文，这篇论文奠定了整个现代几何的基础，他把几何图像看成一个抽象但是能够自足的空间。这个空间后来成为了现代物理的基础，现在物理中研究引力波等都是从黎曼这里开始的，没有黎曼这个空间，爱因斯坦不可能研究出来广义相对论。同时假如我们细看黎曼的这篇论文的话，就会发现，黎曼还认为离散空间也是一个很重要的空间。这个离散的空间包括了我们现在研究的图论，也用来研究宇宙万物可能产生的一切。所以即使是150年以后的今天，我们依然能看到黎曼的这个观点很重要。

二：对称的概念
　　几何学能够提供很多重要的想法，可以讲其影响是无所不在的。
　　几何学的很多概念在高能物理和一般的物理学领域都产生重要的影响。其中一个重要的概念叫做“对称”。“对称”的概念是在1820年到1890年间由几个重要的数学家发展出来的。我们中国喜欢讲的阴阳，其实就是一个属于对称。在数学上有一个叫庞加莱对偶的概念，其实就是阴阳，但这个概念要比阴阳具体得多，同时也真正用在了数学的发展上。
　　19世纪，Sophis Lee发展的李群，也是物理学界最重要的工具之一，在现代物理中几乎没有一个学科可以离开李群的。
　　在几何学上，1870年的时候，伟大的数学家克莱因发表了《埃尔朗根纲领》，在这个纲领里克莱因提出用对称来统治几何的重要原理，随后产生了很多重要的几何学，包括仿射几何、保角几何和投影几何等。
　　这些几何对于图像处理都有密切的关系。我以及我的学生和朋友这十多年来就是用保角几何及种种几何来处理不同的图像。即使是当年看上去不重要的几何，现在实际上都有它重要的用处。
　　这种种的计算都是从对称这个概念发展出来的。从大范围对称到小范围对称，这些在20世纪的基础研究中都有很成功的影响。

三：平行移动
　　另外一个很重要的概念，我想是很多做工程的人都没有注意到的，就是平行移动的概念。这个概念影响了整个数学界两千年。平行移动的概念其实就是一点和另外一点要有一个很好的比较的方法；计算机也好，图形学也好，在某一点上看到的事情要和其他点进行比较，比较的方法就叫平行移动。
　　这也是一个很广泛、很重要的概念。现在在计算数学里面还没有大量的引进，但是在物理学界已经被大量地使用上了。所以我期望这些基本的概念以后能在计算机里面大量地使用。

四：几何学与计算机相互之间的影响
　　现在我们具体来讲一些的事情。现代几何为计算数学奠定了很多理论的基础，并且指导了计算机科学未来发展的方向。
　　现代几何广泛应用到计算机的所有分支。举例来讲，计算机图形学、计算机视觉、计算机辅助几何设计、计算机网络等等都有广泛的应用。再例如，黎曼几何可以用来理解社交网络；现代几何理论也可以用来理解人工智能的特性。要记住，我们讲的几何并不是高中时代的几何，所有与图像或者网络有关的都是几何的一部分。
　　从另一方面来看，计算机学科的发展为现代几何提供了需求和挑战，也推动了跨学科的发展方向。
　　例如：

　　人工智能中的机械定理证明推动了计算代数的发展；
　　数据安全、比特币、区块链的发展推动了代数数论、椭圆曲线和模形式的发展；
　　社交网络、大数据的发展催生了持续同调理论（persistent homology）的发展；
　　动漫、游戏的发展推动了计算共性几何学科的诞生和发展；
　　机器学习的发展推动了最优传输理论的发展等等。

五：计算机&几何学研究案例
　　我们下面举几个具体的例子，分别是图论、计算机图形学、计算机视觉、人工智能、深度学习等。这几个和几何都有密切的联系。

　　1. 图论
　　我们先讲讲图论。图，就是一大堆顶点、一大堆边把它们连起来，这是最简单不过的事情。对于一个图，譬如交通图，我们要找出它们有着怎么样一个结构，什么地方比较拥挤。有时候我们也要研究怎么将这个图切成小部分，然后分解成简单的子图；如何衡量各个连通分支间的连接度；如何将图染色等。这些问题实际上都跟图上的特征函数有密切的关系。
　　图上的特征函数跟光滑图形上的特征函数有很类似的地方。
　　我在40年前跟几个朋友，郑绍远、李伟光，做了一个工作，将光滑黎曼流形的特征函数推广到图上，得到了很好的结果。这些结果可以用来决定图上的连结的生成，研究图上的边创造过程，尤其是有个量的估值来控制在图上发散的过程。约束发散的过程可以应用到许多实际的过程中。我们还研究了图上的薛定谔方程，定义了图上的量子隧道概念。这些概念都是从物理上来的，被借用到图上。
　　假如我们在考虑有向图，就是每个点、每个边，给它一个方向，我们就可以将拓扑学整个引用到图上去，定义了图上的同调群。
　　同调群可以用来研究图上密切的关系和它的内容。
　　现在我们来讲讲我们做的关于博弈理论的一个事情。进化图论为表达种群结构提供了数学工具：顶点代表个体，边代表个体的交互作用。图可以用来代表各种具有空间结构的群，例如细菌、动植物、组织结构、多细胞器官和社交网络。在进化过程中，每个个体依据自身的适应程度，进行繁殖病侵占到邻近顶点。图的拓扑反映了基因的演化──变异和选择的平衡。类似的，互联网是一个大网，一个非常复杂的网络，我可以在上面研究它的变化。社交行为的进化可以用进化博弈论来研究。
　　个体和邻居博弈，根据收益而繁殖。个体繁殖速率受到自身与其他个体的交互作用影响，从而产生博弈的动态演化。其中心的问题就在于对于给定的图如何决定哪种策略会取得成功。
　　我们在今年年初的时候在nature上发了篇文章，我们得到一个结果，就是在任何给定的图上进行弱选择，自然选择从两种彼此竞争的策略中如何进行挑选，这个理论框架适用于人类决策，也适用于任何集群组织的生态演化。
　　我们从弱选择极限得到的结果，解释了何种组织结构导致何种行为。我们发现，如果存在成对的强纽带结构，合作就会大规模出现。我们用数学证明了社会学方面的一个结论：稳定的伙伴或者伴侣，对于形成合作型的社会起到了骨干作用。

　　2. 计算机图形学：全局参数化 – 共形几何
　　下面我要讲的是“计算机图形学：全局参数化 – 共形几何”。这是我们发展了二十多年的一个学问。我和顾险峰从他还在哈佛念博士的时候（1999年）我们就开始做这个事情。
　　当我们将图形整体光滑映射到参数区域，使几何变得很小，会破坏掉整个图形；一般来讲这个要用手工来做，否则的话它变化非常大。针对这个问题，我们使用了纹理贴图、法向量贴图等等的方法。共性几何是一个很重要的从很古典的黎曼几何中产生的几何。

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　　举例来讲，这个大卫的雕像，我们将它保角地映射到平面上去。它表面上看好像变化很大，但实际上变化不大，因为它是保角不变的。这在图像处理中是一个很重要的事情。举个例子来讲，从图上要画格点，因为我们画到平面上去以后，我们就可以将平面上画的很好的格点映射到脸上，就可以变成很漂亮的四方形的格点。这对工程处理有很多好处，其好处就是它将图上很小的圆映射到对方图上还是一个很小的圆，不会有扭曲，不会有太大的变化。

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　　前面这些应用到一个数学上很重的定理，叫做庞加莱单值化定理，这是一个从黎曼时候开始的定理。就是讲映射的图形只跟它的拓扑性有关，这上面有三种几何，分别为：球面几何、欧氏几何、双曲几何。所有二维的几何，不管是什么样子的，我们都可以用这三种几何来分类。因此我们就可以将很复杂的事情很简单地描述出来。

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　　上面这些我们得出了很好的结果。但是保角也有它的缺点，所以我们也发展了第二类映射，我们使得面元被保持，而角度不一定被保持。保角映射有时候可能将一个面拉的很远，左手边是保角映射，右手边是保面元映射。右面的图在不同的情形下会得出很好的结果。

　　3. 计算机视觉，表情追踪 – 拟共映射
　　共性映射也可以应用到表情识别和追踪当中。我们可以自动地找到球面上曲面间的光滑映射，使得特征点匹配，使映射带来的变化很小。
　　这是我们得到的一个很重要的结果。

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　　因此，我们可以用来追踪表情，表情捕捉。一个人他在笑、在哭、在种种不同的表现的时候，我们能够得到他的重要的面部特征，主要的方法就是我们将它映射到平面上，然后用共形映射或拟共形映射来研究它。这些都是很重要的数学工具，在计算上也有很重要的应用。

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　　拟共形映射到目前来讲，纯数学家把它看得还是非常重要的，它不是一个正则方程，而是一个伪正则方程，也即Beltrami方程。这个方程在我们研究图像变形时在数学上是非常重要的，所以我们应用到图形处理里面去也得到很重要的结果。我们可在微分同胚的空间进行变化到最优的映射。它对医疗和动漫都有很重要的应用。

　　4. 计算力学 – 六面体网格生成，叶状结构理论
　　我们也可以用同样的变化（保角映射）来产生六面体网格的生成和叶状结构理论。

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　　这是在一只兔子上找到的好的网格。但是这个网格会产生一些奇异点（拓扑学的缘故）。针对这些奇异点，我们就做了一些研究，得出了很好的结论。

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　　再比如，我们看这个曲面，在这个曲面上我们画出一些叶状的结构，可是它也有一定的奇异点。我们将这些奇异点分类，得出了一些在计算机科学上有意义的结论。

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此外，全纯二次微分的网络中间有个六边形的变化。

　　5. 数字几何处理—几何压缩：蒙日—安培理论，几何逼近理论
　　下面我们来看计算机的几何压缩中的蒙日—安培理论以及几何逼近理论。如何压缩复杂几何数据，同时保证几误差最小，保证黎曼度量、曲率测度、微分算子的收敛性，这些都是很重要的问题。
　　我们用了很多共形映射的方法将曲面映射到平面去；再用蒙日—安培方程，将高曲率区域放大；随后重采样，在共性参数域上计算Delaunay三角剖分。这样得到的简化多面体网格就能够保证黎曼度量、曲率测度、微分算子收敛。

　　6. 区块链：数字安全，椭圆曲线理论
　　这方面很多人都知道，这部分我就跳过去不再讲了。

　　7. 人工智能
　　目前机器学习算法需要大量的样本。虽然现在比从前进步得多了，但规模还是很庞大。所以我们的想法是，让理论来帮忙处理这种复杂的数据学习。
　　在机器学习中有很多统计的内容，但是很多内容我们都不是很了解它是如何产生的。所以我们需要用一些比较严格的数学的理论来从这些复杂的现象中抽取出它们的本质。我们今天介绍一下用几何的方法来研究对抗生成网络（GAN）的事情。
　　生成对抗网络GAN（Generative Adversarial Networks）其实就是以己之矛克己之盾，在矛盾中发展，使得矛更加锋利，盾更加强韧。这里的盾就被称为判别器（Descriminator），矛被称为生成器（Generator）。生成器G一般是将一个随机变量（例如高斯分布或者均匀分布），通过参数化的概率生成模型（通常是用一个深度神经网进行参数化），进行概率分布的逆变换采样，从而得到一个生成的概率分布。判别器D也通常采用深度卷积神经网络。

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　　举个例子来讲，有个概率分布u，u是基本的白噪音，影射到右手边的图片，一个概率分布v。我们从映射里看到GAN的问题其实就是：在两个概率分布u和v之间，找到一个最优的传输映射，从一个空间到另外一个空间，使它的概率分布是保持的。

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　　u通过phi映射到v上去，同时我们要将它传输的代价变得最小。这样的变化是我们所需要的，因为这就不再需要像刚才所说的矛盾变化来达到最好的结果。我们知道，映射可以用一个方程来解决，所以我们其实就是要找一个凸函数U，它的梯度是我们的映射函数phi，它满足一个方程：蒙日—安培方程。

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　　我们可以通过对这个方程进行求解的方式来找到最优传输映射，所以就节省很多生成对抗的时间。蒙日—安培方程本身其实是等价于微分几何中的亚历山大定理的。60年代就有人处理过这个方程，我自己也做过这个方程，前几年顾险峰跟他的学生也和我一起对它做了一个计算。
　　对抗生成网络实质上就是用深度神经网络来计算概率测度之间的变换。虽然规模宏大，但是数学本质并不复杂。
　　应用相对成熟的最优传输理论和蒙日—安培理论，我们可以为机器学习的黑箱给出透明的几何解释，这有助于设计出更为高效和可靠的计算方法。

六：总结
　　我们看到现代数学和计算机科学的发展紧密相关，共形几何的单值化定理、蒙日—安培理论、最优传输理论等现代几何中的定理应用到计算机科学中的很多领域。我希望我们能够将更多那些表面上看来很高深的数学应用到我们日常的计算机上去，不但是能够有效地提出计算机的算法，同时也能够给它一个理论的基础。人工智能需要一个坚实的理论基础，否则它的发展会有很大困难。

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