从陈秀雄到丘成桐中国全解卡拉比猜想

　　田刚中大数
　　中国科学技术大学陈秀雄教授在几何分析领域取得重大突破。该校千人计划陈秀雄教授，与合作者英国著名数学家、菲尔兹奖得主西蒙？唐纳森教授，以及科大年轻校友、陈秀雄教授的学生孙崧博士，最近在复几何的研究中取得重大突破，解决了长期以来困扰数学家的法诺流形上卡勒-爱因斯坦度量的存在性问题。
　　他们的三篇系列论文日前在国际著名数学杂志《美国数学学会杂志》上发表。（他们解决的是复几何领域的核心问题，此问题可追踪到五十年代著名的卡拉比猜想。该猜想涉及到第一陈类有确定符号的卡勒流形上卡勒-爱因斯坦度量的存在性，按照第一陈类为负、零、正等可分为三种情况。当第一陈类为负，卡拉比猜想被丘成桐和法国数学家T.奥宾在1976年独立解决。丘成桐同时解决了当第一陈类为零时的卡拉比猜测，并因此在1982年获得菲尔兹奖。
　　第一陈类为正的卡勒流形也称作法诺流形，其上卡勒-爱因斯坦度量的存在性问题十分复杂，在卡拉比最初的猜想提出后近60年都未解决。上世纪九十年代初，丘成桐猜测法诺流形上卡勒-爱因斯坦度量的存在性与流形上的某种代数稳定性等价。多年来关于法诺流形上卡勒-爱因斯坦度量的存在性和必要性，一直是数学里一个具有挑战性的问题，对它的研究非常活跃，同时刺激数学多个领域的发展。在许多数学家的努力下，法诺度量的必要性条件之前已经得到了澄清并证明。在上述三篇文章中，陈-唐纳森-孙给出了唐纳森度量的存在性之丘成桐猜想的完整证明。
　　陈-唐纳森-孙的证明是突破性的，涉及到微分几何、代数几何、多复变函数、度量几何等众多数学分支。它不仅解决了一个基本问题，同时还发展了许多新颖有力的工具，以理解卡勒几何、代数几何和偏微分方程之间的深刻联系。
　　它建立了连接微分几何与代数几何的桥梁，在代数几何和理论物理中期待有重要应用，并将强力推动这些学科的发展。这项研究成果标志着唐纳森教授1998年提出的研究计划的一个成功。同时该成果的取得有赖于对近20年来各个领域众多数学家取得的基础性成果的关键运用。
　　陈秀雄教授出生于浙江省青田县， 1987年毕业于中国科大数学系，之后师从彭家贵教授，于中国科学院研究生院获硕士学位。1989年他赴美国宾夕法尼亚大学学习，1994年毕业，是著名几何学家卡拉比教授的最后一位博士生。2008年夏，他受唐纳森教授之邀共同研究卡勒-爱因斯坦度量的存在性，一直合作研究该课题至今。陈秀雄教授曾应邀在第24届国际数学家大会上作45分钟邀请报告。2008年被聘为中国科大“长江 学者讲座教授”，2009年被聘为中国科大首批“大师讲席（II）”教授，并入选国家第二批“千人计划”。
　　陈秀雄教授长期致力于母校的人才培养引进与国际学术交流，自2004年起，连续9年组织几何学暑期学校，于2006年在科大创办“环太平洋复杂几何”国际会议，为我校数学学科的人才培养和学术交流做出了贡献。
　　田刚谈及丘成桐，田刚说丘成桐1949年4月4日生于广东汕头。 丘成桐的父亲丘镇英曾在香港香让学院及香港中文大学前身崇基学院任教，不幸于1963年病逝，留下丘成桐的母亲及子女七人。
　　父亲的突然去世，造成丘家生活上的极大困难。为维持一家人的生计，继续供养丘成桐兄弟上学，丘成桐的母亲及姐姐们每日工作十几个小时。即使这样，丘成桐也不得不经常出外打短工，帮人补习功课，来解决部分生活费用及学费。那时，他是香港培正中学初中三年级的学生。清苦的生活并没有动摇他积极向上、奋发图强的决心。他家住沙田，每天上学要步行一个半小时。由于刻苦学习，他于1966年秋以优异成绩考入香港中文大学数学系，在大学期间，他更加勤奋，在短短三年时间内，修完了全部必修课程，还阅读了大量的课外材料。1969年初，刚刚从美国加利福利亚大学伯克利分校取得学位的S.萨拉夫博士，来到香港中文大学执教。丘成桐的杰出才能及表现给萨拉夫留下了深深的印象。
　　在萨拉夫的推荐下，伯克利分校录取丘成桐为博士研究生，并授予IBM奖学金。于是，丘成桐放弃中文大学学士学位，提前退学，于1969年秋到伯克利。他的导师是著名微分几何学家陈省身。70年代左右的加州大学伯克利分校是世界微分几何的中心，云集了许多优秀的几何学家和年轻学者。在伯克利分校学习期间，丘成桐十分重视偏微分方程在微分几何中的作用。当时C.莫里教授仍在伯克利执教。
　　他对偏微分方程理论有重大贡献，但他的讲课习惯使许多年轻人难于接受。加上偏微分方程历来是数学中难学的理论，因而导致众多学生中途退课，最后只剩下丘成桐一人。尽管如此，他仍孜孜不倦地学习偏微分方程理论，为他以后的杰出工作打下牢固的基础。到伯克利分校一年后，即1970年底，丘成桐完成了他的博士学位论文。通过J.H.C.怀特海等人在40-50年代在几何及拓扑方面的工作，人们早已知道具非正截曲率的紧黎曼流形的同伦类由其基本群完全决定，是一个所谓K（π，1）流形。因此自然且重要的问题是：作为这种流形的基本群的群是否具有一些特别的结构？这些特别结构的几何涵义是什么？丘成桐在他的博士论文中，对第一个问题给出了非常满意的回答。简单地说，他证明了这种流形的基本群的任何可解子群都必须是比伯巴赫子群。由此解决了当时著名的沃尔夫猜测，即如果一个具非正截曲率的紧黎曼流形的基本群是可解的，则这一流形实际上是平坦的。
　　沃尔夫猜测在当时吸引了许多优秀数学家，包括在伯克利任教的J.沃尔夫本人。丘成桐对这一问题巧妙的解决，使当时的世界数学界意识到一个数学新星的出现。丘成桐的毕业论文发表在1971年的《数学年刊》上。之后，他与B.劳森合作，又给出这种流形基本群的可解子群的几何性质，他们的文章发表在1972年《微分几何杂志》。他们的工作及著名数学家J.米尔诺关于曲率与基本群大小的工作是具非正截曲率流形基本群方面的开创性工作。1971年秋，丘成桐在伯克利取得博士学位后，应邀前往普林斯顿高等研究院访问一年。在此期间结识了许多年轻的世界一流数学家，包括著名的美国数学家C.费弗曼。丘成桐在这里受益匪浅，他完成了两篇论文，一篇是关于保形变换的，另一篇是关于常平均曲率子流形的，分别发表在《微分几何杂志》与《美国数学杂志》上。1972年秋，年仅23岁的丘成桐应数学教授J.西蒙邀请，来到纽约大学石溪分校担任副教授。
　　在石溪分校的一段时间内，他又连续完成了几篇论文。其中至今仍具影响的是与劳森合作的关于标量典率与群作用关系的文章。1973年暑假，美国数学会在斯坦福大学举行了微分几何大会。丘成桐在会上做了三个学术报告。除了与劳森合作的结果外，还有埃尔米特流形的性质及完备黎曼流形的函数论。在斯坦福大会上，丘成桐以卓越的能力和杰出的贡献，向数学界显示了自己在微分几何领域的领先作用。1973年是丘成桐数学事业上十分重要的一年。他在这一年中完成了题为“完备黎曼流形上调和函数”的著名论文，在论文中巧妙地应用极值原理及辅助函数，给出了具适当曲率条件的完备黎曼流形上调和函数的梯度估计及哈纳克不等式，并由此导出非负里奇曲率的完备流形上的刘维尔型定理，即不存在非常数的正调和函数。用丘成桐自己的话来说，这篇文章是他的数学生涯中的转折点。
　　实际上，该文奠定了他应用分析方法的基本思想及技巧。从此以后，在他的数学工作中处处可见分析方法的应用，诸如卡拉比猜测的解决、谱值下界的估计、热核估计等。丘成桐最有影响且最重要的工作是卡拉比猜测的证明。这一猜测是由著名几何学家E.卡拉比在1954年的国际数学家大会上提出的。具体内容如下：设M是紧卡勒流形，ω为其克勒形式，给定任意表示第一陈示性类C1（M）的实闭（1，1）型形式ρ，则存在唯一的卡勒度量，满足：（1）其对应的克勒形式与ω决定相同的上同调类；（2）其里奇形式与给定的（1，1）型形式ρ相同。这种卡勒度量的唯一性早在50年代即为卡拉比本人证明，实际上是偏微分方程极值原理的应用，但存在性一直悬而未决。卡拉比猜测的成立等价于一类复蒙日-安培方程的可解性，由于蒙日-安培方程是完全非线性的，其求解一直是一个困难的问题。
　　1976年底，丘成桐用强有力的偏微分方程估计解决了这一问题。其直接推论是：第一陈示性类为零的紧卡勒流形具有里奇曲率为零的克勒度量，即里奇平坦卡勒度量；著名的K3复曲面上有里奇平坦卡勒度量。在此之前，除平坦环面外，人们甚至不知道任何其他的里奇平坦的紧流形。卡拉比猜测的解决在代数几何中有两个极为重要的应用：一是关于第一陈示性类为零的紧卡勒流形的结构定理，另一个是关于平坦紧卡勒流形的拓扑刻划，即充要条件为第一、二陈示性类为零。这些基础性结果都是经典代数几何方法所无能为力的。丘成桐在解决卡拉比猜测的同时，还证明了负定第一陈类的紧克勒流形上卡勒-爱因斯坦度量的存在性。

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• 丘成桐
  

　　实际上，这一问题比卡拉比猜测要容易些。在同一年，法国数学家T.奥宾也独立地证明了这种存在性。值得指出的是，该结果在复一维情形即是J.H.庞加莱的单值化定理：在亏格大于1的紧黎曼曲面上，存在高斯曲率为-1的度量，因而推广庞加莱单值化定理至任意维数。丘成桐还将其应用于代数几何，例如关于复双曲紧流形的陈示性类刻划，及其复投影空间上克勒结构的唯一性。在复维数为奇数时，复投影空间上克勒结构的唯一性早在50年代末即为F.希策布鲁赫与小平邦彦所证明。复维数为偶数的情形是丘成桐用克勒-爱因斯坦度量解决的。
　　在复曲面情形，由小平邦彦的分类理论推知，复投影空间上任一复结构都是卡勒的，因此复二维投影空间上的复结构唯一。丘成桐的这些工作震动了世界数学界，法国著名的布尔巴基数学讨论班迅速介绍并且研读了他的工作。丘成桐在70年代的另一重要成就表现在对闵科夫斯基问题的研究。将欧氏空间Rn+1中严格凸翘曲面M的高斯曲率用高斯映射移到n维单位球面Sn上，定义Sn上的某函数K＞0，H.闵科夫斯基早在20世纪初就发现。这里xi为欧氏空间Rn+1的坐标函数。
　　他非常关心其逆是否成立，这就是著名的闵科夫斯基问题，闵科夫斯基本人在多面体范围内解决了这一问题，苏联数学家A.Д亚历山德罗夫推广到一般情形。但是当K是光滑函数时，原凸曲面的光滑程度却未解决。二维且K实解析情形由H.卢伊于1938年解决。50年代初期，L.尼伦伯格与A.V.波戈里洛夫分别独立地解决了二维时该问题的一般情形。其后，许多数学家试图解决高维情形，但未能如愿。最后在1975年，丘成桐与郑绍远合作解决了闵科夫斯基问题的光滑性。
　　他们的方法是像尼伦伯格在二维情形所作的那样，建立相应的实蒙日-安培方程解的内部正则性。丘成桐于1976年被提升为斯坦福大学数学教授，且为1977-1978年度加州大学伯克利分校特邀教授。1978年，他应邀在芬兰赫尔辛基举行的世界数学家大会上做一小时学术报告，题目为“微分几何中偏微分方程作用”，这一报告代表了80年代前后微分几何的研究方向、方法及其主流。
　　1973年夏，在美国数学会举办的斯坦福微分几何大会上，物理学家R.杰拉奇向数学家们讲演了广义相对论，并解说了正质量猜测。众所周知，在广义相对论中，没有像经典力学中局部质量密度的概念。但是对一个孤立的物理系统，仍然有整体质量，即这一系统的总质量。由于该质量并非局部质量密度函数在全空间的积分，物理学家们不能断定它是否一定非负，且总质量为零的时空是平坦的。
　　用数学语言叙述，设V是具有洛伦兹度量的时空，在其中类空超曲面M上考虑由V上度量限制而得的度量，假设M是渐近平坦的，则M的总质量定义为限制度量导数在无穷远球面上的积分。正质量猜测是：如果V是具有物理意义的时空，这一质量一定非负，且质量为零喻示M是平坦的。这个猜测的一个特殊情形是：给定一标量曲率为非负的渐近平坦三维黎曼流形，则它的质量非负。1978年，丘成桐和R.舍恩合作，首先解决了正质量猜测的这一特殊情形。
　　他们的定理也喻示了在三维环面上，平坦度量是唯一的具非负标量曲率的黎曼度量，其后不久，他们就解决了最一般情形的正质量猜测。设γ为三维欧氏空间中给定长度的约当曲线，在以γ为边界的所有曲面中是否存在面积最小者？这即是著名的普拉托问题。在30年代初，T.拉多和J.道格拉斯分别独立地解决了这一问题。1948年，莫里解决了在一般黎曼流形中曲线γ的普拉托问题。70年代左右，许多优秀数学家，如R.奥斯曼、S.希尔德布兰特、R.格利弗等证明了若给定边界曲线是光滑的，则道格拉斯-莫里解是光滑的。然而，在γ满足适当凸性条件时，道格拉斯-莫里解是否是自不相交的嵌入曲面，仍有待解决。1975年，丘成桐在普林斯顿大学数学系讲演之际，通过与C.D.帕普基里亚库波洛斯教授的交谈，掌握了一个怎样从浸入证明嵌入的拓扑技巧。几年后，他与W.米克斯合作，应用这一技巧解决了道格拉斯-莫里解的嵌入问题，该结果在拓扑学中有许多应用，如三维流形的德恩引理。后者是解决关于S3上群作用的史密斯猜测的不可缺少的一部分。
　　基于上述杰出工作，丘成桐于1983年在华沙举行的世界数学家大会上，被授予菲尔兹奖章。J.C.菲尔兹是加拿大数学家，逝世后将其遗产捐献给世界数学协会，设立了菲尔兹奖，用来表彰在数学上有卓越贡献的数学家，且年龄必须在40岁以下。由于著名的诺贝尔奖中没有数学一项，菲尔兹奖成为世界数学界中的最高荣誉。丘成桐是至今得奖者中唯一的中国人。在此以前，他当选为1979年度美国加利福尼亚州最优秀的科学家，1981年获得世界微分几何界中最高奖之一──美国数学会的维布伦奖。丘成桐在种种荣誉面前没有自满，不断取得新的成就。其中特别值得提到的是他与K.乌伦拜克合作的关于杨-米尔斯解的工作。
　　杨-米尔斯方程是由物理学家们引进的，已成为粒子物理的一部分。S.唐纳森在1982年的毕业论文，使人们意识到杨-米尔斯联络对研究四维微分流形的重要性。简单地说，杨-米尔斯联络是在给定结构群的联络空间上由曲率的平方模定义的泛函的临界点。R.彭罗斯的扭曲理论及阿蒂亚-辛格指标定理，可以用来构造某些特殊的四维流形上杨-米尔斯方程的特解，即对称或反对称联络；C.陶布斯用偏微分方程方法及隐函数定理在一般四维流形上构造了反对称联络。
　　另一方面，由于M.纳拉斯姆罕、C.塞斯哈德里及唐纳森等人的工作，发现在代数曲线及曲面上，反对称杨-米尔斯联络与稳定全纯向量丛一一对应。向量丛的稳定性是由D.芒福德于60年代末期引进的，最初是用来紧化向量丛的模空间，随着时间的推移，代数几何学家们发现其越来越重要。尤其是苏联数学家博格莫洛夫的工作，喻示稳定丛具有很强的几何限制，如第一、二陈示性类间有不等式关系。
　　因此，更进一步地刻划稳定丛是极为必要的。鉴于低维情形的稳定丛与反对称杨-米尔斯联络的对应，人们不禁要问：在一般情形，这一对应是否仍然成立？在高维，并没有反对称联络的概念，取而代之的是杨-米尔斯-埃尔米特度量。因此在高维，人们需要证明的是：稳定丛与杨-米尔斯-埃尔米特度量一一对应。1984年，丘成桐与乌伦拜克合作，用强有力的偏微分方程估计方法，解决了这一问题。他们的证明实际上在更广的克勒流形上有效，且本身亦是极有意义的，可以用来研究模空间等问题，丘成桐与乌伦拜克应用这一定理给出了克勒流形上平坦丛的刻划。
　　1989年夏，美国数学会在洛杉矶举行微分几何大会，丘成桐作为世界微几何的新一代领导人物出任大会主席。丘成桐事业上的成功，与他锲而不舍的精神是分不开的。著名数学家郑绍远先生是其好友，且共事过一段时间。他回忆说：丘成桐早在70年代初就已考虑卡拉比猜测。曾有一段时间，他怀疑其真实性，试图寻找反例，自然都失败了。但是他并不气馁，继续钻研这一问题，直到四五年后才解决，实际上，有许多艰深的数学问题，丘成桐已思考近20年，虽然仍未解决，他还是没有轻易放弃思考。凡与丘成桐共事过的数学家，无不钦佩他对数学问题的敏锐的洞察力。他从伯克利分校毕业不久，就注意到微分几何中研究刘维尔型问题的重要性，这实际上是唯一性问题。偏微分方程的正则性问题可以视为它的形变。丘成桐的工作中渗透了许多这类性质的问题。丘成桐对中国数学一直非常关心。
　　1984年起，他招收了十几名中国博士研究生，为中国培养微分几何人才。他一贯认为，不仅要教给学生一些特殊的技巧，更重要的是教会他们如何欣赏好的数学问题。他经常运用讨论班的形式，带领学生阅读大量的数学文献，帮助学生从中领会数学的精辟之处。丘成桐的性格是非常直率的，这曾给他与同事之间带来一些误会，有时也引起他的学生们的不理解。然而学生们总是不久就发现他的苦心，因而更加体会到导师的关心。正如著名数学家尼伦伯格在1983年世界数学家大会上介绍丘成桐工作时所指出的，他的工作既深刻又广泛，涉及微分几何的各个方面；他不仅具备几何学家的直观能力，而且兼有分析学家的才能。