宇称不守恒的一种数学证明

宇称不守恒的一种数学证明

──粒子自旋数学从代数几何延至拓扑序

叶眺新

摘要：对称和对称破缺是世界统一性和多样性的根源，杨振宁和李政道在1956年10月发表《弱相互作用中宇称守恒的问题》的论文，吴健雄随后给了实验验证，诺组委立马把1957年的诺贝尔奖颁给35岁的杨振宁和31岁的李政道。但宇称不守恒67年以来，全是属于物理学的证明，还有纯数学证明吗？我们给予了一种初探。

关键词：对称、宇称、自旋、线旋、β衰变，宇称破缺、拓扑序

【0、引言】

推翻宇称守恒定律，从β衰变到宇称不守恒，因宇称不守恒（即便只是在弱相互作用下）并不是一个局部性的理论发展，而是一个影响整个物理学界的方方面面，囊括了分子、原子和基本粒子进行物理的一个基本革命。吴健雄也通过实验证明了，参与弱相互作用的粒子，并不像宇宙中的其他系统一样保存对称状态。

1956年10月，吴健雄设计了实验来检验弱相互作用中的宇称──当原子核中含有过多质子或者过多中子时，原子核会通过发射β粒子（正电子或负电子）和中微子（相应地发射中微子或反中微子）衰变成更稳定的核素。吴健雄的实验在接近绝对零度（0K，约为-273.15℃）的温度下，利用磁场使放射性同位素钴-60（衰变发射电子和反中微子）极化，然后观察在原子核自旋方向（磁场方向）和自旋反方向（磁场反方向）发射的β粒子（电子）。如果宇称守恒定律成立，那么在核自旋方向发射的电子数与自旋反方向上发射的电子数，应当完全相同。然而出乎意料的是，吴健雄的实验并非如此。

也就是说宇称守恒定律在弱相互作用下不成立，这一结果震惊了物理学界──杨振宁和李政道在1956年10月发表《弱相互作用中宇称守恒的问题》的论文，吴健雄随后给了实验验证，诺组委立马把1957 年的诺贝尔奖颁给35岁的杨振宁和31岁的李政道。

【1、推翻宇称守恒定律】

2023年5月中旬笔者拿到5月号的《环球科学》杂志后，立即被杂志中的一篇米歇尔•弗兰克撰文，杨晓菲翻译的《吴健雄：诺奖背后的身影》文章吸引住了──李政道和杨振宁这一中国人共同获得1957年度的诺贝尔物理学奖的第一次殊荣，笔者是1958年在四川盐亭偏僻农村新建的玉龙区初中校读书时，听班主任蒋芝泉老师和教物理的曾令彬老师聊天才知道的。

曾老师还说：他也不太懂，此学问要联系四大力学──理论力学、电动力学、热力统计力学、量子力学。这让笔者想读大学的志向，从此埋在心里。65年后的今天在读完《吴健雄：诺奖背后的身影》后，反复再看文中附加的一节《推翻宇称守恒定律》解说，心中升腾起一种想用拓扑序自旋数学三旋理论，初探宇称不守恒定律的数学证明。

说来话长，本来杨振宁和李政道证明宇称不守恒定律是指在弱相互作用中，相同的核粒子并不总是表现相同，非常清楚──互为镜像的物质的运动不对称──1956年前，科学家早就发现θ和τ两种介子的自旋、质量、寿命、电荷等完全相同，多数科学家认为二者是同一种粒子，但θ介子衰变时产生两个π介子，τ子衰变时产生3个，又不完全相同。杨振宁和李政道在深入研究后，提出τ和θ是完全相同的同一种粒子(后称为K介子)，但在弱相互作用的环境中，二者的运动规律却不一定完全相同，即“θ-τ”粒子在弱相互作用下是宇称不守恒的。67年前李政道和杨振宁提出的弱相互作用中宇称不守恒定律，随后得到吴健雄等人实验的验证，彻底打破了人们关于对称原理的认识和理解，对称原理不再仅仅是包含对称性和守恒律。

从此，对称破缺与对称性共同构成对称原理，成为自然界遵循的普遍规律。而通常每一种对称性对应于一种守恒律，对称和守恒一直被视为是物理学的基础。但基于1953~1955年积累的K介子实验研究，θ-τ疑难成为粒子物理学界“最令人烦恼的问题”。

所谓θ-τ疑难，是指θ和τ粒子质量和寿命几乎相同，但其衰变模式不同，分别衰变为两个π介子和三个π介子。有物理学家提出θ和τ是同一种K介子的两种衰变方式。不过这种观点与当时物理学界公认的宇称守恒定律相矛盾。因为分析实验结果可得θ粒子衰变成的两个π介子系的宇称为正，而τ粒子衰变成的三个π介子系的宇称为负。因而θ-τ疑难成为1956 年4 月初举行的罗切斯特会议讨论的焦点之一──1927年维格纳提出宇称守恒定理，即系统在经过镜像变换前后运动规律基本保持不变，只是左右相反，例如顺时针旋转的表针在经过镜像变换后则会逆时针旋转。

在确立θ-τ疑难之前，这一对称性定律广泛应用于原子、分子和核物理和β衰变研究，物理学家自然地认定它们是守恒的，将其作为探究基本粒子相互作用规律的指导原则。在没有物理学家洞察到可将弱作用的宇称守恒和强作用的宇称守恒分开考虑的情况下，任何有关宇称不守恒的讨论，立即会遭遇观念和实验上的困难。

正是θ-τ疑难的确立，首次引导物理学家重新深刻地考虑宇称问题。1956年上半年θ-τ疑难是李政道和杨振宁讨论的重点，他们在不预设弱作用下宇称守恒的情况下，各自独立地重新严格推导和计算与弱作用相关的物理过程，并提出强有力的论据，说明违反这一定律的可能性。同时，他们提出一些关于β衰变以及超子和介子衰变的实验，为检验宇称是否守恒提供必要的证据。

1956年10月李政道和杨振宁在《物理评论》第104 卷上联合发表题为《弱相互作用中宇称守恒的问题》的文章。那时若没有两位具有深刻物理洞察力和扎实物理功底的物理学家的精诚而紧密的合作，宇称不守恒定律的突破和发现必将会探索一段漫长的时间。在李政道和杨振宁发表弱相互作用下宇称不守恒工作三个月后，实验物理学家以两项重要实验验证了弱相互作用下的宇称破坏。其中一项就是大家熟知的吴健雄与合作者完成的测量极化核钴60 的β衰变的电子角分布。宇称破坏被实验验证后，李政道与杨振宁又投稿提出二分量中微子理论。文中给出可用于实验检验的理论结果。

即中微子的自旋只能反平行于其运动方向，而反中微子的自旋只能平行于其运动方向。或者说,中微子总是左旋的，而反中微子总是右旋的。在该理论下，宇称将被最大程度破坏。事实表明，对称和对称破缺的研究不仅是20世纪物理学的主旋律，而且仍然是21世纪物理学所面临的重要挑战之一。由对称和对称破缺构成的对称原理不仅在粒子物理中起着重要作用，在整个自然科学的研究中也起了非常重要的作用。现实世界在各个层次上都呈现出与对称性和对称破缺有关的各自特有的基本规律，可以说，对称和对称破缺是世界统一性和多样性的根源。但以上全是属于物理学的证明，还有纯数学证明吗？

我们再重温“θ-τ之谜”──宇称不守恒可以看做同一个粒子的不同衰变方式，杨、李二人先对过去已有的各种β衰变进行计算考查，他们先写出五种通常类型的耦合，再引入五种保持角动量守恒，但宇称不守恒的耦合，这时β衰变非为允许跃迁。然后杨振宁和李政道检验了如下一些现象：允许跃迁谱，特殊禁戒跃迁谱，具有允许谱形状的禁戒跃迁谱，β-中微子关联和β-γ关联，结果发现，这些实验都与衰变作用中的宇称守恒问题无关；在所有这些现象中，都不存在宇称守恒和宇称不守恒两类相互作用的干涉项。

计算结果总得到正比于｜C｜的平方的项加上正比于｜C‘｜的平方的项，这里C和C’分别为通常宇称守恒的作用（五项的总和）和宇称不守恒的作用（同样也是五项的总和）的耦合常数。而且，如果不测量中微子的自旋，就不可能区分C耦合与C’耦合（这里假定中微子的质量为0）。当时有关β衰变的绝大部分知识来自与上述现象有关的实验结果，因此不能决定C’型相互作用与通常类型作用的混合程度。CC’干涉项不存在的原因其实很清楚，仅当从实验观测量能形成赝标量时，这种量才会出现。

CTP守恒，C：电荷；P：宇称；T：时间。CP指电荷共轭（正反粒子）(C变换)与左右手系（镜面）（P变换）联合变换。CP变换指的是将以微观物理学反应中先将所有粒子全部置换为反粒子（C变换）；再将整个过程镜面对称（P变换）得到的新反应。而CP守恒定律则指一个存在的，符合物理学定律的物理学反应，经过CP变换后也成立，存在，符合物理学反应。那么CTP守恒，CP不守恒，PT不守恒，CT不守恒、TC不守恒吗？

【2、宇称及宇称不守恒】

宇称是被用于标识基本粒子身份的“标签”，每一种基本粒子都有宇称（记做π），它只取±1两个值，其符号可以由具体的实验来确定。这是德国女物理学家及数学家艾米·诺特（1882－1935）提出的诺特定理，揭示物理系统对称性与守恒量之间的深刻联系：

“在一个物理系统中，如果发现该系统具有某种对称性，那么一定存在一种与之对应的物理量，这个物理量在该系统中是一个守恒量。也就是说，物理系统的对称性与守恒量，是一一对应的”。

根据诺特定律，宇称变换称之为“空间翻转变化”。基本粒子的物理系统在这样的翻转变换下具有对称性，这样的对称性，对应于该系统一种守恒量，物理学家将其命名为宇称。宇称不守恒定律也称为CP破坏定律。宇称不守恒定律最早由俄罗斯物理学家列夫·兰道和他的学生康德拉捷夫在1956年提出，他们认为物质和反物质之间应该是对称的，即宇称（P）守恒。但在同一年李政道和杨振宁发表的论文，提出破坏宇称对称性的可能性，随后的实验中证实了这一理论。

如果宇称（P）对称性是物理学中的一种对称性，指的是物理系统的物理性质在空间翻转下保持不变。例如，在一个完全对称的球体中，球体的物理性质在空间翻转下是不变的，因此满足宇称对称性。

CP对称性是宇称对称性和电荷共轭对称性的乘积，是物理系统的物理性质在同时进行宇称变换和电荷共轭变换下保持的不变。那么宇称不守恒指的是在一些物理过程中，物理系统的宇称对称性被破坏，即物质和反物质之间存在差异。例如，在一些粒子衰变和反应中，粒子和反粒子的产生和衰变并不对称，因此不满足宇称对称性。

如1964年柯罗宁和菲奇在实验中发现，介子的蜕变过程中有0.3%的概率违反CP守恒定律。即他们在实验中已发现在极少数情况下CP不守恒，由于此发现他们获得1980年诺贝尔物理学奖。在CP破坏后，人们在CP变换的基础上加上了T变换：即将物理过程时间顺序反过来。CP不守恒就意味着时间反演(T)不守恒，这说明CP守恒只是近似的定律。由物理学普遍原理，可知微观世界遵从空间反射、时间反演、电荷共轭三者联合变换下是不变的，即所谓的CPT定理。

即自然界中电荷共轭、空间反射和时间反演联合对称性(CPT)是守恒的。而CPT联合变换，在目前理论上和实验上都表明它严格成立。有人说：“发现电磁，或强相互作用下，P不守恒。发现电磁，或强相互作用下，CP不守恒。发现电磁，或强，或弱相互作用下，CPT不守恒，可获诺贝尔科学奖”。但这也需要数学的启示和证明。

【3、粒子自旋数学从代数几何延至拓扑序】

1964年柯罗宁和菲奇等人发现的CP对称性破坏，是由中性K介子及其反粒子之间的相互转化而引起的，称为间接CP破坏。

20世纪70年代，李政道对时空和物质的基本对称性和对称破缺提出了更深刻的观点。1973年他提出CP 对称性自发破缺机制来理解CP 破坏的起源，指出体系的拉格朗日密度在CP变换下不变，但真空并不是CP不变的，致使物理反应有CP不守恒现象。

该理论指出，除自旋为1的规范场和已知的物质场外，最简单形式还应包括两个自旋为零的标量场。通过戈德斯通和希格斯粒子的对称性自发破缺机制，两个标量场的真空期待值的相对位相，作为对称性自发破缺后CP 破坏的源，可应用到阿贝尔和非阿贝尔规范群对称性自发破缺的模型中。基于李政道CP 对称性自发破缺机制，吴岳良院士等分析和研究双希格斯二重态模型后，放弃所谓的自然味守恒假设和分立对称性，完整地建立自洽的CP对称性自发破缺双希格斯二重态模型：由真空的单个CP 位相可诱导出分为四类的CP破坏源。

此模型不仅可解释标准模型中CP 破坏位相的起源，还得到一类新的CP 破坏源，同时可给出中性流改变的具有超弱相互作用的CP破坏，以及由标量和赝标量希格斯粒子之间混合引起的CP破坏源。

吴岳良院士等也把通常的CP破坏，分为间接CP破坏和直接CP破坏。这样的CP破坏，既可以由弱相互作用引起，也可由新的超弱相互作用引起。为区分这两种基本相互作用的CP破坏，必须测量由衰变振幅引起的直接CP破坏。因在超弱相互作用的模型中，直接CP破坏为零，而在弱相互作用模型中，直接CP破坏不为零。

为此深入研究和精确测量直接CP破坏，对探索自然界新的理论和CP破坏的起源有着重要意义──直接检验粒子物理标准模型中的CP破坏机制，可排除第五种纯超弱相互作用理论，同时对与直接CP破坏相关联的ΔI=1/2同位旋选择规则，也可给出自洽的解释。另外粒子物理标准模型的CP破坏位相，也可对B介子衰变中的直接CP破坏给出自洽的解释。目前实验已证明时空和物质的三种基本分立对称性C，P，T，及其双线性乘积的联合对称性CP、PT、TC，CT等，都只是近似成立，但三者乘积的联合对称性CPT或其排列组合仍是保持严格的对称性质。但这些都是物理和普通的代数几何的说明。

粒子自旋数学从代数几何扩大到拓扑序，证明电荷C、宇称P、时间T等守恒或不守恒；证明CP、PT、CT、TC等守恒或不守恒；证明CTP守恒或不守恒，不管是实验证明，还是理论证明，都涉及量子力学效应中的粒子自旋之谜这个难题。激子拓扑序，在电子、空穴浓度不平衡的区间中产生。打开体态能隙，并具有一对电子-空穴形成的手征边缘态，在零磁场下，电子和空穴携带相反的电荷，产生类螺旋型边缘态输运。理论和实验的相互印证，揭示了在电子-空穴双层系统中，由于阻挫和关联效应所产生的激子拓扑序，与量子自旋霍尔效应不同。激子拓扑序无需时间反演对称的保护，在垂直磁场下，这一对边缘态不会打开能隙，而是在实空间分离，从而导致边缘态输运信号，从类螺旋型向类手征型转变。

而分数量子霍尔效应，是当代凝聚态物理的前沿研究热点之一，相关研究曾获1998年诺贝尔物理学奖。分数量子霍尔效应，起源于电子的关联效应，导致了拓扑序的产生，表现出长程量子纠缠，演生规范场和分数激发。电子-空穴耦合的双层系统，发现当电子和空穴浓度不平衡时，系统所产生的激子具有moat型能带（激子的色散在动量空间呈现一圈高度简并）。激子moat能带的阻挫效应，使得激子不发生玻色凝聚，进而产生一类具有长程量子纠缠的拓扑序，其物理图像等价于激子形成的分数量子霍尔态。

关联激子，由于阻挫效应导致强量子涨落所产生的玻色子拓扑序的新机制；从实验上在电子-空穴浓度不平衡的GaSb量子阱中，观察到通过激子形成的时间反演对称破缺的新型拓扑态，实验与理论相结合，首次揭示了激子拓扑序。那么自旋粒子不会旋转吗？

例如实验将镜头推进亚原子的世界，物理学家发现，耳熟能详的电子不论何时，不论受到怎样的影响，电子好像永远在以恒定的速度自转。但计算结果表明，它们绝不可能像经典物理中那样真正地旋转。

如何处理自旋是所有基本粒子的内禀属性？后来发现还是要以我们这个身在的宏观世界，真正理解过的自旋去作参考。例如在宏观，自旋图像被认为是围绕某个轴旋转的粒子；这参考延伸到微观，自旋只能服从与量化角动量相同的数学定律。其次，自旋还具有一些不同于轨道角动量的特殊性质：如自旋量子数可以取半整数值。

因为虽然粒子的自旋方向可以改变，但不能使一个基本粒子旋转得更快或更慢。把自旋看成像粒子一样自由运转的实体，即自旋振子，其会结合在一起，就像水分子结合成液态水一样，因此有得名“量子自旋液体”的称号。而且，其与金属内部发生的情况类似，在金属内部，大多数原子的外层电子会离开其“宿主”原子，在金属内漂移，好像它们组成了液体（费密液体）。另外，带电粒子的自旋与磁偶极矩有关，描述粒子磁矩与外磁场的相互作用的物理量，用g表示。在经典物理学中，g因子等于1。但在量子力学中，g因子的值因粒子的内部电荷与其质量分布不同而会有所不同。例如自旋液体，不是人们能触摸到的物质，它像一个有序排列的原子阵列内的磁无序状态。

由于自旋是所有磁现象的关键，例如，在铁磁铁中，原子自旋采用同样的方式排列。而在反铁磁铁中，原子的自旋方向会上下改变，上世纪80年代发现的高温超导材料就是如此。

粒子自旋数学从代数几何延至拓扑序，在20世纪60年代我国创立的拓扑序量子三旋理论，参照宏观液体在锅中沸腾的耗散结构现象──心液体从锅中心沸腾升起，向四周分开流向锅边，再向下流到锅底作循环翻转，这也类似地球磁场，北极出南极进的磁力线转动一样。拓扑序量子三旋理论把类此现象，定名为“线旋”。

①线旋：指类圈体绕圈体内中心圈线作旋转。线旋一般不常见，如固体的表面肉眼不能看见分子、原子、电子等微轻粒子的运动。

其次，线旋还要分平凡线旋和不平凡线旋。不平凡线旋是指绕线旋轴圈至少存在一个环绕数的涡线旋转，如莫比乌斯体或莫比乌斯带形状。同时不平凡线旋还要分左斜、右斜。因此不平凡线旋和平凡线旋又统称不分明自旋。反之不是“量子自旋液体”的如“球量子”晶体、固体的粒子自旋，“拓扑序量子三旋理论”则用面旋、体旋描述。

②面旋：指类圈体绕垂直于圈面中心的轴线作旋转。如车轮绕轴的旋转。其次电场中电流电路循环流动，也类似面旋。

③体旋：指类圈体绕圈面内的轴线作旋转。如拨浪鼓绕手柄的旋转。其次热力学场中温度加速粒子之间的碰撞翻滚，也类似体旋。

电子自旋概念疑难的问题在于，由于它们的尺寸很小，电子必须以超过光速的速度旋转才能匹配观察到的角动量值──把电子想象成一个旋转的滑冰者，他们的手臂向内折迭：整体尺寸越小，它旋转得越快。所以后来有用“场方法”，去理解旋转电子引起的混淆。

即如果电子是一个点大小的电荷球，那么它在电子的位置产生的场是无限强的。这意味着场将没有定义的方向，因此没有定义的力，这导致了很难去计算这种力（大小和方向）。但是，如果电子是一个扩展的电荷场，那么电子不同部分上的力将是有限的，具有明确定义的方向。目前轻子，像电子、介子和单子一样，没有任何结构。所以没有东西可以旋转。如果不将其推广到包括自旋，也需要自旋来解释粒子是如何有磁场的？它的磁矩是离散的？如粒子也必须有电荷才能有磁场。单是旋转是不够的。运动中的电荷产生磁场。带电球绕圈运动会产生磁场。但是在一个真实的粒子中没有旋转的东西。

然而这个粒子有角动量(当然也称之为自旋)，加上它的电荷，就意味着它有一个磁场。在量子力学和粒子物理学中，自旋是由基本粒子、复合粒子（强子）和原子核携带的一种角动量的内在形式，是粒子所具有的内禀性质，类似于经典力学的角动量。虽然有时会与经典力学中的自转（例如地球自转）相类比，但实际的本质是迥异的拓扑序（如拓扑学中环面与球面不同伦）──经典力学中的自转，是物体对于其质心的旋转，如地球自转是顺着通过地心的极轴所作的转动。

角动量的另一种形式，是轨道角动量。轨道角动量算符是轨道转动的经典角动量的量子力学对应物，当角度变化时，波函数具有一定的周期性结构出现。自旋角动量的存在，是从实验中推断出来的，例如施特恩--格拉赫实验。在该实验中，尽管没有轨道角动量，但观察到了银原子具有两个可能的离散角动量。在某些方面，自旋就像一个矢量，它有一个确定的大小，也有一个“方向”；但量化使这个“方向”不同于普通矢量的方向。一种给定类型的所有基本粒子具有相同大小的自旋角动量，这是通过给粒子分配一个自旋量子数来指示的。

在实践中，通过将自旋角动量除以具有相同角动量单位的约化普朗克常数ħ，就可以得出自旋作为无量纲量的自旋量子数。通常“自旋量子数”，被简单地称为“自旋”，其含义为无单位“自旋量子数”，当它与自旋统计定理结合时，将会得出泡利不相容原理。

正是有类似量子纠缠的拓扑序三旋，也可以证明泡利不相容原理，而使量子色动力学的数学推论更加普及化。证明如下：

“泡利不相容原理”，应用到对同一轨道环圈上，自旋反向的粒子对存在多粒子的情况，解释并不完善。例如，共轭多烯电环合反应，是一个多粒子三旋“泡利不相容原理”解释，以前并不能完善问题。但用拓扑序三旋节点定则，则是对它的规律性进行的开拓。推导中可反复出现三旋所含的特殊性，主要的有：第一是它的多对称中心性。

①三旋本身就是依据运动的对称性定义的，例如基于对称的认识，给自旋、自转、转动的语义学定义是：自旋指在转轴或转点两边能同时找到对称动点的旋转；自转指有转轴或转点，但即使有对称的动点也不能形成同时重迭的轨迹的旋转；转动指可以没有转轴或转点，又不能同时存在对称动点的封闭曲线运动。据此，类圈体的环面比类粒子的球面旋转，在直观区别上能多出三种自旋分类，简称三旋。即面旋指类圈体绕垂直于圈面的轴的旋转；体旋指类圈体绕圈面内的轴的旋转；线旋指类圈体绕圈体内中心圈线的旋转。

②更为精彩的是，体旋多点不相容性，能对每个电子轨道圈最多只可以容纳两个自转相反电子的泡利不相容原理，给出一种新的证明：如果该轨道圆圈作三旋，虽然面旋和线旋都能容纳多个电子，但作体旋，如决定一根圆圈面内的轴为转轴，排列在圆圈轨道上的所有电子作体旋而垂直转轴的直径，会出现从小到大对称的排列，中间最大的直径只有一条，只能容纳一对电子。如果保持该轨道上所有电子的体旋能量的一致性，其余的电子必然要发生分离。碳链圈有无节点映射，道理也出于此。

③同时也说明多粒子三旋，要保持跟圆心最大的对称原则，也符合“泡利原理”。

再说自旋量子数，自旋是基本粒子所具有的内禀角动量，其本质上是一种相对论的量子效应。如果把自旋的粒子想象成一个旋转的陀螺，与陀螺的转轴方向类似，粒子的自旋也存在着方向。粒子自旋的方向并非简单三维的，而是量子化的，探测器无法直接探测到粒子的自旋方向信息。因此，科学家需要利用可衰变粒子的自旋与其衰变产物动量的关联，来提取粒子自旋方向信息。

2023年2月7日《科技日报》记者张盖伦报道，中国科学院院士、复旦大学马余刚教授团队和中国科学院近代物理研究所团队，与合作者的实验首次观测到粒子的自旋整体排列现象。而中国理论核物理学家早在2005年，就提出过超子和介子的整体自旋极化理论，提供了一个研究强相互作用的新方向。到2023年，他们在重离子碰撞实验中，已观测到反应末态粒子的整体自旋排列现象，该成果或为研究夸克--胶子等离子体中的强相互作用提供一个新方向。

该研究团队，测量了自旋为1的Φ介子和K^＊^0介子的整体自旋排列，跟踪这些粒子的衰变产物相对于反应平面法线方向的角分布，并把它转换为母粒子处于三种自旋状态的概率，以此实现母粒子的自旋排列密度矩阵的测量。在没有整体自旋排列信号时，测量的粒子自旋处于三种状态中每一种的概率都是一致的，展示的是K^＊^0介子的实验结果。但对于Φ介子，实验数据显示其自旋处于某一种状态的概率，高于其他两种状态，其自旋排列信号随着碰撞能量的降低而增大，自旋更倾向于一个特定的状态，观测到粒子的自旋整体排列现象。

【4、从对称到不守恒听张天蓉教授讲解】

对称无处不在，但不对称似乎更多。而对称在理论物理中也扮演着非常重要的角色。但要如何统一呢？何谓统一？

物理理论的统一其实就是找到一个符合一定规律的数学框架，把所有的东西都能框在里面。物理学热衷于对称性，大自然和物理理论也的确符合多种对称性。因此所谓的统一，就是在理论中发掘更多的对称性。现代物理中与对称有关的一些概念，诸如群论、诺特定理、对称破缺、宇宙演化中的对称等，就需要掌握。

2023年6月10日科学网个人博客专栏，张天蓉教授发表的《对称和对称破缺》一文中介绍说：各种操作都可以被定义为“群”乘法──“群”就是那么一群东西，需要为它们两两之间规定一种“作用”。

两两作用的结果，还是属于这群东西；其中有一个特别的东西，与任何其它东西作用都不起作用；此外，每样东西都有另一个东西和它抵消；最后，如果好几个东西接连作用，只要这些东西的相互位置不变，结果与作用的顺序无关。如空间中的旋转构成群，是物理中非常重要的一类群。物理学与各种旋转结下不解之缘，从力学中研究的刚体转动，到量子理论中的粒子自旋。

地球绕太阳转，月亮绕地球转，滚珠在轴承滚道中转，电子绕原子核转，宇宙中的星云，我们居住的地球，太阳系和银河系，这些天体都处于永恒而持久的旋转运动中。每一层次的实验和理论中似乎都少不了旋转。物理中的旋转除了在真实时空中的旋转之外，还有一大部分是在假想的、抽象的空间中的旋转，比如动量空间，希尔伯特空间，自旋空间、同位旋空间等。旋转群有离散的和连续的之分。

理论物理，特别是统一理论中连续旋转群有SO(3)、SO(2)、U(1)、SU(2)、SU(3)等等。可以用矩阵的语言解释上面一串旋转群的符号：每个符号括号中的数目字（3、2、1）等是表示旋转的矩阵空间的维数；大写字母O代表正交矩阵；U代表酉矩阵；S是特殊的意思，表示矩阵的行列式为1。比如，举三维空间的旋转群O(3)为例。

这里3，是指旋转空间的维数，O对应于保持长度和角度不变的正交变换矩阵。即O(3)可以由一个3X3=9个实数组成的正交矩阵来表示。正交矩阵O(3)的行列式可为1或-1。当行列式为-1时，正交矩阵表示的变换是旋转再加反演，这里的负号便来自反演。

将O(3)旋转群的行列式限制为1，指的便是特殊旋转群，记为SO(3)。所以SO(3)表示的是3维空间中无反演的纯粹旋转。物理学中的量子理论与复数关联密切，因此量子论中将正交群的概念，从实数扩展到复数，正交群O(n)便扩展成为元素为复数的酉群U(n)。

行列式限制为实数1的酉群，被称为特殊酉群，记为SU(n)。如U(1)是1维复数空间的旋转群；SU(2)和SU(3)分别是2维和3维复数空间的特殊旋转群。一个复数由两个实数组成，可以表示成二维实数空间中的一个点。U(1)群的元素包括模为1的所有复数，可以表示为：u=eif。尽管复数u的模为1，但幅角f还可以任意变化，所以U(1)是由复数平面上所有长度为1的矢量，绕着原点转动形成的单位圆构成的。量子物理中电子的自旋不是一个矢量，物理学以“旋量”来称呼它。当3维空间中旋转360度时，自旋群SU(2)中的元素只旋转180度，与莫比乌斯带的拓扑性质有类似之处。

目前物理学中担任3类相互作用统一角色的“标准模型”，便是将所有61种基本粒子，再加上21世纪欧洲实验室发现的希格斯质量粒子，共计62种基本粒子。这与量子三旋拓扑序编码的避错码一致。证明是：把面旋和体旋称为分明自旋，如果作为一种圈态编码练习，设面旋、体旋、平凡线旋、不平凡线旋它们为A、a，B、b和G、g、E、e、H、h。其中大写代表左旋，小写代表右旋。现在我们来看一个圈态自旋密码具有多少不同结合状态？

单动态──一个圈子只作一种自旋的动作，是10种。

双动态──一个圈子同时作两种自旋动作，但要排除两种动作左旋和右旋是同一类型的情况，是28种。

三动态（多动态）──一个圈子同时作三种自旋动作，但要排除其中两种动作是同一类型的情况，是24种。一个圈子同时作四种自旋动作，其中必有两种动作左旋和右旋是属于同一类型，这是被作为“禁止”的情况。所以我们也把拓扑序三种动态叫做多动态。环量子拓扑序的自旋是共计62种，比球量子的自旋的8种多54种。

统一在规范群SU(3)×SU(2)×U(1)的框架中。由此可见对称及群论于物理学的重要意义。

再说“诺特定理”，这是艾米•诺特对理论物理最重要的贡献。这个定理将对称性与物理学中的守恒定律联系起来。表面上看起来，对称性描述的是大自然的数学几何结构，守恒定律说的是某种物理量的变化规律，两者似乎不是一码事。但它表达的每个连续可微对称性，都存在一个对应的守恒流，有着相应的守恒定律。

这个定理对于所有基于作用量原理的物理定律是成立的，特别是和量子力学深刻相关，因为它仅用经典力学的原理就可以认出和海森堡测不准原理相关的物理量，如位置与动量，时间与能量。在经典理论中，物理系统对于空间平移不变的对称性，给出了动量守恒律；对于转动的不变性给出了角动量守恒律；对于时间平移的不变性给出了能量守恒定律。在量子场论中，用全域或规范对称性来联系不同的关联方程，产生出更多的守恒定律，例如从电势的规范不变性得出电荷守恒。现代物理学及统一场论中，对称和守恒似乎已经成为物理学家们探索自然奥秘的强大秘密武器。

现代物理学不仅仅体现在发现了对称，还体现在发现了“对称破缺。系统从对称性高的状态，演化到对称性更低的状态，便是“对称破缺”，反之则可称为“对称建立”。例如，当正三角形变形为等腰三角形，或者当球面变成椭球面，我们便说“对称破缺了”。

从群的观点来看，SO(3)是3阶的，SO(2)只是1阶对称，所以，从球面到椭球面，2个对称性被破缺了。物质的相变也是一种对称破缺（或提升）。物质三态中，液态比晶体固态具有更高的对称性。

液态分子处于完全无序的状态，处处均匀，各向同性，凝固成固态后，分子有次序地排列起来，形成整齐漂亮的晶格结构。因此，从液态到固态，有序程度增加了，而对称性却降低了，破缺了。

对称性的破缺”可以分为两大类：明显对称破缺和自发对称破缺。明显的对称破缺：系统的拉格朗日量明显违反某种对称性，因而造成物理定律不具备这种对称性。弱相互作用的宇称不守恒，便是属于这一类。自发对称破缺指的是，物理系统的拉格朗日量具有某种对称性，但物理系统本身却并不表现出这种对称性。即自发对称破缺是说，自然规律具有某种对称性，但服从这个规律的现实情形却不具有这种对称性，因而在实验中没有观察到这种对称性，理论似乎与实验不符合。

如用数学语言描述，就是系统的方程具有某种对称性，但方程的某一个解不一定要具有这种对称性。一切现实情况下的实验结果，是系统“自发对称破缺”后的某种特别情形。它们只能表现方程的某一个解，反映的只是物理规律的一小部分侧面。

由此看发现宇称不守恒之前的几十年里，物理学普遍认为对称是自然界的基本规律。而守恒定律表明同样的一系列事件，在空间反演(等效于镜像变换)下发生的概率保持不变。但杨振宁和李政道关于宇称不守恒的假说指出，β衰变中原子核发射β粒子的行为在镜像变换下并不会完全保持不变。显然这个想法，与传统的科学观念或常识相悖。吴健雄设计的实验需要利用绝热去磁方法将放射性核钴-60冷却到接近绝对零度，并通过磁场使原子核极化。她需要研究β衰变中是否会以完全对称的模式发射β粒子，也就是像物理学界公认的那样，还是说发射的β粒子在一个方向上会比另一个方向多。在那个年代的众多实验室中，吴健雄便和美国国家标准实验室的科学家合作，开展实验证明杨振宁和李政道关于宇称不守恒的假说是成立的。

【5、宇称不守恒初探数学的证明】

通过将复杂曲线拆分成更容易理解和计算的基本曲线，由此逐步窥探到插值问题的最终完整且系统地解决，给我们已对自旋曲线过所有基本粒子的质量谱点的证明以启示。

从1996年以来我们就一直从多方面解决这个问题，发表过多篇从多种角度的研究。2023年4月金琅学术出版社出版的《自旋曲线过所有基本粒子质量点证明──复杂曲线拆分成易理解计算的基本曲线方法》一书，即是一个整理。既然所有基本粒子能用自旋曲线包容，那么宇称不守恒是否也能从数学的一种角度作证明？

宇称基本粒子自旋曲线法丛结构拆分，拓扑序三旋如何进入基本粒子自旋曲线法丛结构拆分呢？这是对自旋作语境分析并用对称概念，对自旋、自转、转动作语义学的定义：

（1）自旋：在转轴或转点两边存在同时对称的动点，且轨迹是重迭的圆圈并能同时组织起旋转面的旋转。如地球的自转和地球的磁场北极出南极进的磁力线转动。

（2）自转：在转轴或转点的两边可以有或没有同时对称的动点，但其轨迹都不是能同时重迭的圆圈组织起旋转面的旋转。如转轴偏离沿垂线的地陀螺或廻转仪，一端或中点不动，另一端或两端作圆圈运动的进动，以及吊着的物体一端不动，另一端连同整体作圆锥面转动。

（3）转动：可以有或没有转轴或转点，没有同时存在对称的动点和组织起的旋转面，但动点的轨迹是封闭曲线的旋转。如地球公转。

宏观世界的物体，例如，陀螺或汽车，不具有自旋的性质。虽然这些物体也可以环绕本征轴旋转，但是这种旋转不是它们的必不可少的性质；特别是，我们能够加强它们的旋转运动，也能停止它们的旋转运动，而基本粒子的自旋，既不能加强，也不可以减弱──粒子自旋不能理解为它环绕某一本征轴的旋转运动，只能说自旋粒子的表现与陀螺相似。那么如果提出基本粒子的结构不是通常认为的是球量子而是环量子的图像拟设，就此如果仍然站在球量子的观点，把它设想成陀螺状，它就只有一类旋转的两种运动。我们设为A、a。大写A代表左旋，小写a代表右旋。但站在环量子的观点，类似圈态的客体我们定义为类圈体，我们把它设想成轮胎状“自旋液体”，那么类圈体应存在三类自旋：①面旋；②体旋；③线旋。

那么证明电荷C、宇称P、时间T等守恒或不守恒；证明CP、PT、CT、TC等守恒或不守恒；证明CTP守恒或不守恒，不管是实验证明，还是理论证明，从涉及拓扑序三旋量子力学场效应中粒子自旋的数学来证明，可分为四个层次来分辩。

第一是单动态──一个圈子只作一种自旋的动作：即单独的①面旋（正反A、a）；②体旋（正反B、b）；③线旋（只含平凡线旋正反G、g）等各自的运动状态，在垂直类圈体自旋正反方向作的截面上，观察发射的粒子数应当完全相同，即宇称是对称或守恒的。

第二是双动态──一个圈子同时作两种自旋动作，但要排除两种动作左旋和右旋是同一类型的情况──宇称不对称或不守恒，主要发生在线旋（只含平凡线旋正反G、g），分别参与面旋（正反A、a），或体旋（正反B、b）这类双动态情况。而面旋与体旋之间的组合：AB、Ab、aB、ab等，由于遵守泡利不相容原理则不存在不守恒。

道理是线旋：指类圈体绕圈体内中心圈线作旋转。在平行类圈体线旋正反方向作的截面上，观察发射的粒子数完全不相同──由于平凡线旋类似如地球磁场北极出南极进的磁力线转动，那么在北极方向会观察发射的粒子，而在南极方向会观察不到发射的粒子。

由此平凡线旋的正反G、g，分别与面旋的正反A、a，或体旋的正反B、b等组合的双动态：AG、Ag、aG、ag；BG、Bg、bG、bg；在垂直类圈体自旋正反方向作的截面上，观察发射的粒子数应当不相同。原因是面旋的正反A、a，或体旋的正反B、b，各自拓扑序量子力学场效应中发射的粒子，与平凡线旋正反G、g各自拓扑序量子力学场效应中发射的粒子之间有时碰撞，由于平凡线旋正反G、g各自方向发射的粒子完全不对等，由此平凡线旋正反G、g各自方向发射的粒子数少的AG、Ag、aG、ag；BG、Bg、bG、bg组合，在垂直类圈体自旋正反方向作的截面上，观察发射的粒子数也应当减少很多，即宇称是不对称或不守恒的。

第三是三动态（多动态）──一个圈子同时作三种自旋动作，线旋是平凡线旋正反G、g参与，由于要排除其中两种动作是同一类型的情况，那么三动态只是8种：ABG、ABg 、AbG、Abg ；aBG、aBg、abG、abg。这里虽然平凡线旋正反G、g各自各自方向发射的粒子完全不对等，但由于对称面旋的正反A、a，或体旋的正反B、b的参与组合，增大了自旋变换的频率，也增大了各自拓扑序量子力学场效应中发射的粒子之间发生碰撞的频率，使得在一个截面上观察正反方向发射的粒子数的差别不大，即可认为宇称是对称或守恒的。

第四是四动态，一个圈子同时作四种自旋动作，其中必有两种动作左旋和右旋是属于同一类型，这是被作为“禁止”的情况。

现在把电荷C、宇称P、时间T等守恒或不守恒的关键词，与量子三旋拓扑序编码中的关键词①面旋（正反A、a）；②体旋（正反B、b）；③线旋（只含平凡线旋正反G、g）等对应，电荷C对应①面旋是容易理解的。而时间T对应②体旋，也容易理解──时间是全方位的，体旋也类似全方位。剩下宇称P，能对应③线旋吗？能够。

【5、结束语】

我们通过对粒子自旋数学从代数几何扩大到拓扑序，作的宇称不守恒的一种数学证明，深感类似“θ-τ之谜”中的β衰变，我们认识的世界中，还隐藏许多不为人知的看不见的“拓扑序”。

该证明仅是就科学而言，然而人与人之间兴趣不同、爱好不同、工作不同，对科学的选择也千差万别。但科学也类似水──人类离不开水，视水为德。然而水滋养人类的同时，又带给人类以大灾大难，如有些国家，利用掌握的高科技，发动侵略战争。所以人类与科学的历史，也类似与人类与水的历史──既是相依存、相利用的历史，也是改造水、驾驭水、变害为利的历史。为啥我们要这些话？

因为我们知道李政道、杨振宁和吴健雄等大科学家证明宇称不守恒，是在65年前在四川盐亭偏僻农村新建的玉龙区初中校读书。1957年开展“反右斗争”后，1958年掀起大跃进的高潮。我们的初中就在一个废弃的劳改农场的猪场空房子里办起来，老师只有四个人，学生有100人左右。学校连报纸也没有订阅。那是在金秋十月一个阳光明媚的下午，我们的班主任蒋芝泉老师，带我们班的同学修建学校养猪场。中途休息大家围着听他聊天，突然他小声对我们说：昨晚他听收音机，得知两位在美国的中国人获得诺贝尔物理奖，说是因打破了“雨称”不守“下雨”的规律。

也许是1957年“反右”斗争才没有过去了多久，怕说是收听“敌台”，同学们没有敢多问老师，但我们和老师都为中国人获奖这件事很高兴。有同学说：“掌握了下雨这样大的规律，当然应该获得世界大奖”。但还不过半年年，1959年我们家乡那个农村的天干快到闹大饥荒缺水了，由此我们把打破宇称不守恒的科学发现，与“水”联系了起来。水与河流相关。在我们家乡四川，河流水面总是低于地面。

但65年中我们因学习、工作，到北京、到上海，看到黄河和长江的下游河道有高于地面的，非常震惊。特别是在江苏淮安，看到大运河与淮河相交，运河之水从淮河身上跨过，凌空北上──这种“水上立交”，实际是长123米、宽80米的混凝土渡槽的半空中的运河航道──打破宇称守恒的宇称不守恒之道，是否有类似于此的奥秘？

参考文献

[1]米歇尔•弗兰克，吴健雄：诺奖背后的身影，杨晓菲翻译，环球科学，2023年5月号；

[2]张天蓉，对称和对称破缺，科学网个人博客专栏，2023年6月10日；

[3]亚当•贝克尔，自旋粒子不会自旋？林清翻译，环球科学，2023年5月号；

[4]]王德奎，自旋曲线过所有基本粒子质量点证明──复杂曲线拆分成易理解计算的基本曲线方法，金琅学术出版社，2023年4月；

[5]王德奎，三旋理论初探，四川科学技术出版社，2002年5月；

[6]孔少峰、王德奎，求衡论──庞加莱猜想应用，四川科学技术出版社，2007年9月；

[7]王德奎、林艺彬、孙双喜，中医药多体自然叩问，独家出版社，2020年1月；

[8]王德奎，解读《时间简史》，天津古籍出版社，2003年9月；

[9]王德奎，中国与世界秘史，金琅学术出版社，2019年11月；

[10]申章厚，智能手机变聊天机器人普及聊天手机──中文聊天手机的科学和社会问题研讨，Academ Arena，May25，2023；

[11]苏倩波，环境能物联网与抗核武器系统，金琅学术出版社，2023年6月。