孪生素数的计算及证明

孪生素数的计算及证明

孪生素数是相差为2的两个素数，叫孪生素数。那么，具体有哪些孪生素数，应该怎样进行计算呢？本文向各位老师进行汇报如下。

一、孪生素数的具体计算

首先说明，本文所运用的理论，是我在《素数的综合计算方法》中所讲到的，这里不再重复，具体要知道这些理论的论断，请搜索《素数的综合计算方法》和《解除三大误区  创建三个参数》。

孪生素数的起源是素数5，7。为了表示方便，我们用（5，7）表示该孪生素数组。而孪生素数（5，7）是由6-1和6+1所组成，即孪生素数存在于6N-1和6N+1之中。这里的6N-1和6N+1是两个等差数列，公差为6。因为，公差6=素数2*3，两个数列的首项为5和7，又因为，首项不能够被组成公差的素数2和3整除，所以，这两个等差数列的所有项，都不能够被素数2和3整除。

公差6不是大于或等于5的所有素数的倍数，所以，这两个等差数列，对于大于或等于5的素数必须严格按照素数删除规律进行删除。所谓的素数删除规律是指：设素数删除因子为L，那么，等差数列的L个连续项，必须被素数L删除一项或者是素数L本身，并且只能够删除一项的删除原则，叫素数删除规律。那么，对于孪生素数的计算，不同于素数的计算，素数的计算是单个计算，而孪生素数的计算是成对的计算法，只要对该奇数组的任意一个奇数进行删除，必须对该奇数组进行全部删除，也就是说对于孪生素数的计算，是严格遵循每L个连续奇数组，素数删除因子L必须删除两组的原则。

从上面的分析，孪生素数（5，7）的具体删除是从素数5开始的，我们在此，就给各位老师进行具体的计算展示：

1，素数5的删除：必须取5个连续奇数组：

（5，7），（11，13），（17，19），（23，25，）（29，31）。

对于这5个连续奇数组，素数5应该删除的两个奇数组为:(5，7），（23，25），实际删除也是这两组，只不过在这里，我们将素数本身删除的奇数组记录下来，它必然是孪生素数，因为，同一个素数不可能同时对孪生奇数组的两个奇数进行删除，本身数对本身数进行删除，而本身数是素数，另一个数没有在这之前被小于该排除数的素数进行删除，说明它不可能被小于它的素数删除，又不可能被这里的排除数进行删除，那么，另一个数必然是素数，所以，它必然是孪生素数组。我们把它们记录下来。这里把它进行删除，主要是为了减少下一步的重复删除（下同）。

2，素数7的删除，素数7的删除是在上面剩余奇数组的基础上，将上面剩余的奇数组分别加上，上面的公差6*5=30所构成的新的等差数列，有：

①、（11，13），（41，43），（71，73），（101，103），（131，133），（161，163），（191，193），删除（161，163），（131，133）

②、（17，19），（47，49），（77，79），（107，109），（137，139），（167，169），（197，199）删除（77，79）（47，49）；

③、（29，31），（59，61），（89，91），（119，121），（149，151），（179，181），（209，211）删除（119，121），（89，91）；

因为，素数7*7=49，所以，这里小于49的奇数组都是孪生素数组。

3、素数11的删除，素数11的删除是在上面剩余的奇数组的基础上，将上面剩余的奇数组分别加上，上面的公差30*7=210所构成的新的等差数列，有：

一组：

①、（11，13），（221，223）（431，433）（641，643）（851，853）（1061，1063）（1271，1273）（1481，1483）（1691，1693）（1901，1903）（2111，2113）。素数11应删除（11，13），（1901，1903）；

②、（41，43），（251，253），（461，463），（671，673），（881，883），（1091，1093），（1301，1303），（1511，1513），（1721，1723），（1931，1933），（2141，2143），素数11删除（251，253），（671，673）；

③、（71，73），（281，283），（491，493），（701，703），（911，913），（1121，1123），（1331，1333）（1541，1543），（1751，1753）（1961，1963）（2171，2173）。素数11删除（911，913），（1331，1333）；

④、（101，103），（311，313）（521，523）（731，733）（941，943）（1151，1153）（1361，1363）（1571，1573）（1781，1783）（1991，1993）（2201，2203）。素数11删除（1571，1573），（1991，1993）；

⑤、（191，193），（401，403）（611，613）（821，823）（1031，1033）（1241，1243）（1451，1453）（1661，1663）（1871，1873）（2081，2083）（2291，2293）。素数11删除（1241，1243），（1661，1663）；

二组：

①、（17，19），（227，229），（437，439），（647，649），（857，859），（1067，1069），（1277，1279），（1487，1489），（1697，1699），（1907，1909），（2117，2119）。素数11删除（647，649），（1067，1069）；

②、（107，109），（317，319），（527，529），（737，739），（947，949），（1157，1159），（1367，1369），（1577，1579），（1787，1789），（1997，1999），（2207，2209）。删除11删除（317，319），（737，739）；

③、（137，139），（347，349），（557，559），（767，769），（977，979），（1187，1189），（1397，1399），（1607，1609），（1817，1819），（2027，2029），（2237，2239）。素数11删除（977，979），（1397，1399）；

④、（167，169），（377，379），（587，589），（797，799），（1007，1009），（1217，1219），（1427，1429），（1637，1639），（1847，1849），（2057，2059），（2267，2269）。素数11删除（1637，1639），（2057，2059）；

⑤、（197，199），（407，409），（617，619），（827，829），（1037，1039），（1247，1249），（1457，1459），（1667，1669），（1877，1879），（2087，2089），（2297，2299）。素数11删除（407，409），（2297，2299）；

三组：

①、（29，31），（239，241），（449，451），（659，661），（869，871），（1079，1081），（1289，1291），（1499，1501），（1709，1711），（1919，1921），（2129，2131）。素数11删除（449，451），（869，871）；

②、（59，61），（269，271），（479，481），（689，691），（899，901），（1109，1111），（1319，1321），（1529，1531），（1739，1741），（1949，1951），（2159，2161）。素数11删除（1109，1111），（1529，1531）；

③、（149，151），（359，361），（569，571），（779，781），（989，991），（1199，1201），（1409，1411），（1619，1621），（1829，1831），（2039，2041），（2249，2251），素数11删除（779，781），（1199，1201）；

④、（179，181），（389，391），（599，601），（809，811），（1019，1021），（1229，1231），（1439，1441），（1649，1651），（1859，1861），（2069，2071），（2279，2281）。素数11删除（1439，1441），（1859，1861）；

⑤、（209，211），（419，421），（629，631），（839，841），（1049，1051），（1259，1261），（1469，1471），（1679，1681），（1889，1891），（2099，2101），（2309，2311）。素数11删

除（209，211），（2099，2101）；

各位老师，您可能会问：这里的删除数是怎么寻找的。其实，很简单，因为任何数字除以11，只有11种结果，余数分别为：1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11（0），这11个连续等差数列的项，必然每一个余数都有不同，只不过其排列关系为公差余数*项数+首项/11的余数而排列。因为，现在是计算机年代，没有几个人是用笔进行除法运算，去得余数按余数去寻找删除项。所以，我们就按小数排列关系进行寻找，十分方便。

我们取（11，13），（221，223）（431，433）（641，643）（851，853）（1061，1063）（1271，1273）（1481，1483）（1691，1693）（1901，1903）（2111，2113），的前一项有：

11，221，431，641，851，1061，1271，1481，1691，1901，2111，分别除以11，其小数排列关系为:(1）、0，（2）、0.09，（3）、0.18，（4）、027，（5）、0.36，（6）、0.45，（7）、0.54，（8）、0.63，（9）、0.72，（10）、0.81，（11）、0.90。这样一个循环排列关系。

这里第一项第一个数是11，当然该奇数组为素数11的删除组，因为这一项是素数11自己删除了的，所以，该奇数组是孪生素数组，我们把它记在一边。

寻找该等差数列第二个数的删除奇数组，因为，公差一样，排除数一样，其循环小数的排列关系是一样的。可以根据13/11小数为0.18，为第三项，因为下一个循环项与该项的余数相同为第12项，删除项应该为1项。故为，12-（3-1）=10，这里第10项的第二个数为1903/11=173；

再举2个例子：149，151，第一个数149/11小数为：0.54，为第7项，因为，3+3=6小于11，即第6项，第6项的1199/11=109为删除项；第二个数151/11小数为0.72为第9项，9+3=12大于11，可以用第一种计算法12-（9-1）=4，第四项第2个数781/11=71，即该项为删除项。

当然，说到这里，您也可能会认为繁琐，其实不然，后面的排列越来越多，我个人认为这种方法，还是可以借鉴的。

当您计算到某一个排除数时，不想继续计算下去了。比如说，我们就计算到这里。排除素数11的删除为止，那么，小于11*11=121的孪生奇数组，必然是孪生素数组；计算到这里时，最大的数为2311，√2311≈48，即其它删除因子还有13、17、19、23、29、31、37、41、43、47。之些删除因子在这11项中不属于必然删除因子，如果在这11项之内没有删除的，即对该等差数列的前11为不删除。又该怎样寻找它们的删除数呢？可以同样按照上面的删除项的计算方法，我们把这些删除数都进行删除后，剩余的加上前面所记录下来的孪生素数，就2311之内的所有孪生素数。这里出现了两个素数删除因子，一个是排除素数删除因子，另一个是最大的素数删除因子。

其它素数的删除：

一组：

①、（221，223），（431，433），（641，643），（851，853），（1061，1063），（1271，1273），（1481，1483），（1691，1693），（2111，2113）。素数13删除（221，223），素数19删除（1271，1273），（1691，1693），素数23删除（851，853）；剩余孪生素数为:(431，433），（641，643），（1061，1063），（1481，1483），（2111，2113）。5个

②、（41，43），（461，463），（881，883），（1091，1093），（1301，1303），（1511，1513），（1721，1723），（1931，1933），（2141，2143），素数17删除（1511，1513）；剩余孪生素数为:(41，43），（461，463），（881，883），（1091，1093），（1301，1303），（1721，1723），（1931，1933），（2141，2143），8个

③、（71，73），（281，283），（491，493），（701，703），（1121，1123），（1541，1543），（1751，1753），（1961，1963），（2171，2173）。素数13删除（1961，1963），（2171，2173），素数17删除（491，493），（1751，1753），素数19删除（701，703），（1121，1123），素数23删除（1541，1543）；剩余孪生素数为:(71，73），（281，283）。2个

④、（101，103），（311，313），（521，523），（731，733），（941，943），（1151，1153），（1361，1363），（1781，1783），（2201，2203）。素数13删除（1781，1783），素数17删除（731，733），素数23删除（941，943），素数29删除（1361，1363），素数31删除（2201，2203），剩余孪生素数为:(101，103），（311，313），（521，523），（1151，1153）。4个

⑤、（191，193），（401，403），（611，613），（821，823），（1031，1033），（1451，1453），（1871，1873），（2081，2083），（2291，2293）。素数13删除（401，403），13（611，613），素数29删除（2291，2293），剩余孪生素数为:(191，193），（821，823），（1031，1033），（1451，1453），（1871，1873），（2081，2083）。6个，本组小计25个

二组：

①、（17，19），（227，229），（437，439），（857，859），（1277，1279），（1487，1489），（1697，1699），（1907，1909），（2117，2119）。素数13删除（2117，2119），素数19删除（437，439），素数23删除（1907，1909）；剩余孪生素数为:(17，19），（227，229），（857，859），（1277，1279），（1487，1489），（1697，1699）。6个

②、（107，109），（527，529），（947，949），（1157，1159），（1367，1369），（1577，1579），（1787，1789），（1997，1999），（2207，2209）。素数13删除（947，949），（1157，1159），素数17删除（527，529），素数19删除（1577，1579），素数37删除（1367，1369），素数47删除（2207，2209）；剩余孪生素数为:(107，109），（1787，1789），（1997，1999）。3个

③、（137，139），（347，349），（557，559），（767，769），（1187，1189），（1607，1609），（1817，1819），（2027，2029），（2237，2239）。素数13删除（557，559），（767，769），素数17删除（1817，1819），素数29删除（1187，1189）；剩余孪生素数为:(137，139），（347，349），（1607，1609），（2027，2029），（2237，2239）。5个

④、（167，169），（377，379），（587，589），（797，799），（1007，1009），（1217，1219），（1427，1429），（1847，1849），（2267，2269）。素数13删除（167，169），（377，379），素数17删除（797，799），素数19删除（587，589），（1007，1009），素数23删除（1217，1219），素数43删除（1847，1849），剩余孪生素数为:(1427，1429），（2267，2269）。2个，

⑤、（197，199），（617，619），（827，829），（1037，1039），（1247，1249），（1457，1459），（1667，1669），（1877，1879），（2087，2089）。素数17删除（1037，1039），素数29删除（1247，1249），素数31删除（1457，1459），剩余孪生素数为:(197，199），（617，619），（827，829），（1667，1669），（1877，1879），（2087，2089）。6个，本组小计22个

三组：

①、（29，31），（239，241），（659，661），（1079，1081），（1289，1291），（1499，1501），（1709，1711），（1919，1921），（2129，2131）。素数13删除（1079，1081），素数17删除（1919，1921），素数19删除（1499，1501），素数29删除（1709，1711）；剩余孪生素数为:(29，31），（239，241），（659，661），（1289，1291），（2129，2131）。5个

②、（59，61），（269，271），（479，481），（689，691），（899，901），（1319，1321），（1739，1741），（1949，1951），（2159，2161）。素数13删除（479，481），（689，691），素数17删除（899，901），（2159，2161），素数37删除（1739，1741）；剩余孪生素数为:(59，61），（269，271），（1319，1321），（1949，1951）。4个

③、（149，151），（359，361），（569，571），（989，991），（1409，1411），（1619，1621），（1829，1831），（2039，2041），（2249，2251）。素数13删除（2039，2041），（2249，2251），素数17删除（1409，1411），素数19删除（359，361），素数23删除（989，991），素数

31删除（1829，1831）剩余孪生素数为:(149，151），（569，571），（1619，1621）。3个

；

④、（179，181），（389，391），（599，601），（809，811），（1019，1021），（1229，1231），（1649，1651），（2069，2071），（2279，2281）。素数13删除（1649，1651），素数17删除（389，391），素数19删除（2069，2071），素数43删除（2279，2281）；剩余孪生素数为:(179，181），（599，601），（809，811），（1019，1021），（1229，1231）。5个

⑤、（419，421），（629，631），（839，841），（1049，1051），（1259，1261），（1469，1471），（1679，1681），（1889，1891），（2309，2311）。素数13删除（1259，1261），（1469，1471），素数17删除（629，631），素数23删除（1679，1681），素数29删除（839，841），素数31删除（1889，1891），剩余孪生素数为:(419，421），（1049，1051），（2309，2311）。3个，本组小计20个，

小计为：67个孪生素数，加上素数5和11删除的自身孪生奇数组，（5，7），（11，13）2个孪生素数，共计2311之内为69个孪生素数。

当您看到一组③时，您可能会想，该小组怎么才两个孪生素数？是因为其它删除因子集中这一段的原故，我们如果把这一段进行延长，您就会看出，其它删除因子对于另一段的删除就会相应地减少，总之，任何素数的删除都是严格遵循素数删除规律：每L个连续奇数组，素数删除因子L必须删除两组的原则：

（71，73），（281，283）（491，493）（701，703）（911，913）（1121，1123）（1331，1333）（1541，1543），（1751，1753）（1961，1963）（2171，2173），到这里虽然只有两个孪生素数，我们把该孪生奇数组再延伸11个项，（2381，2383），（2591，2593），（2801，2803），（3011，3013），（3221，3223），（3431，3433），（3641，3643），（3851，3853），（4061，4063），（4271，4273），（4481，4483）其它删除因子，在这11项就必然会减少，出现了6个孪生素数（2381，2383），（2591，2593），（2801，2803），（3851，3853），（4271，4273），（4481，4483）。反之，一样成立。

说到这里，按照上面的计算方法，这些延伸的孪生奇数组，在上面的计算方法中，又该归于哪个组呢？如果按照上面的剩余孪生奇数组来说，为上面的剩余孪生奇数组+2310X，除了这里的两个（4061，4063），（3641，3643）能够被素数11删除的奇数组外，其它9个都必然分到其余的剩余孪生奇数组之中去了。

说明：

1、该孪生素数的计算方法，是采用的逐渐排除法。因为小素数删除因子的删除频率，大于大素数删除因子的删除频率，为了尽可能避免小素数删除因子的重复删除，我们采用对小素数删除因子的删除逐渐进行排除。

2、本计算方法，是采用的不遗漏法进行计算，同时，该计算方法具有连贯性。

3、从本计算方法，可以看出必然性：①、设素数删除因子为B，素数删除因子B对B个连续等差孪生奇数组必然删除2个，并且只删除2个，即删除2/B，必然剩余（B-2）/B个；②、剩余孪生奇数组的必然性，设相邻素数删除因子为A、B。当我们对素数删除因子B进行排除时，小于自然数2*3*5*7……*A未被素数A排除的孪生奇数组个数必然为：3*5*9*11*……（A-2）个，每一个剩余奇数组都是一个新的等差数列的首项，每一个等差数列取B项，公差为：2*3*5*7*11*……*A。由此可知，该计算方法具有连续性和必然性。

二、孪生素数的证明

从上面的计算方法，我们可以看出：实际孪生奇数的个数为，每6个自然数产生一个，如果，我们设自然数为M，那么，M之内的孪生奇数个数为M/6。特别说明，这里的M/6包含所有被删除的孪生奇数组。

1、它的删除因子是从素数5开始的，当我们排除素数5的删除时，在计算中，最大的数为31，实际上，如果按素数删除因子来说，素数7应该在7*7=49以后才能进行删除，那么，48以前都属于素数5的删除管辖。在按素数5对孪生奇数组的删除为2/5，剩余3/5，我们进行计算有：√48≈5，有48/6*3/5≈4.8,实际上有5个孪生素数；

2、当我们排除到素数删除因子7时，最大的奇数为211，√211≈14，即最大的素数删除因子为13，按计算：211/6*3/5*5/7*9/11*11/13≈10个，实际孪生素数为14个；

3、当我们排除到素数删除因子11时，最大的奇数为2311，√2311≈48，即最大的素数删除因子为47，按计算：2311/6*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*21/23*27/29*29/31*35/37*39/41*41/43*45/47≈58.91个，实际孪生素数为69个；

这就是说：当自然数大于43以后，它的孪生素数实际个数大于自然数的平方根。

我原来的证明：

设自然数为M，最大的素数删除因子为N，孪生素数的计算为：

M/6*3/5*5/7*9/11*11/13*15/17*17/19*……（N-2）/N，我们在中间增加不能进行删除的合数有：M/6*3/5*5/7*7/9*9/11*11/13*13/15*15/17*17/19*……（N-2）/N=M/2N，按M内的删除因子的计算方法，√M≈N*N代入上式为：M内的孪生素数个数>M/2N=N/2。也就是自然数大于7时，随着自然数的不断扩大，自然数的删除因子也会不断增大，孪生素数个数为大于最大的素数删除因子除以2时，其数值也会不断增大，说明孪生素数是随自然数范围的不断增加而增加的，所以，孪生素数是永远会诞生的，永远存在的。

四川省三台县工商局：王志成

孪生素数的简易证明

因为，大于3的素数存在于等差数列6N+1和6N+5之中。所谓孪生素数，即相差为2的两个素数叫孪生素数。即当6N+5的N为X，6N+1的N为X+1时，6N+6和6N+1都是素数时，即为孪生素数。又因为，人们已经证明了素数永远存在，那么，当6N+5的N为X，6N+1的N为X+1时，6N+6和6N+1都是素数也永远存在，所以，孪生素数永远存在。实践说明，当自然数大于43以后，孪生素数实际个数大于自然数的平方根。

顺便说一下，相差4的孪生素数。也就是6N+1和6N+5所形成的孪生素数。这里的6N+1中的N与6N+5中的N相等时，6N+1和6N+5都是素数，叫做相差4的孪生素数。同理，人们已经证明了素数永远存在，所以，6N+1和6N+5都是素数也永远存在，应该以上面的孪生素数个数相当。

再说一下相差6的孪生素数，即6N+1与6（N+1）+1，6N+5与（6N+1）+5。为相同等差数列所形成的孪生素数。同理，人们已经证明了素数永远存在，所以，6N+1与6（N+1）+1，6N+5与（6N+1）+5都是素数也永远存在，应该有相差2的孪生素数个数的两倍。

我在上面这篇文章中，其实也就是讲的如何寻找孪生素数的方法。