从数学家哈代到成功商人库恩

──数学是发现还是发明的？

⊙作者：刘静典

　　摘要：“克利福德平行线”与“不平凡线旋”有没有联系？量子力学“点内自旋”与理论力学“点外自旋”有没有联系？等等，哈代1908年出版的《纯数学教程》，那种细致基础的“数理”分析和演示，为啥在115年来仍是根本？因为“当下科技陷入停滞”。
　　关键词：哈代、纯数学、拉马努金、自旋冰晶、克利福德

0、引言
　　2023年1月6日科学网刘全慧个人博客专栏发表的《数学是发现还是发明的？》一文，刘全慧教授说：“有极少数人能自如地游走在完全不相关联世界中，或者并行宇宙里。中国文化谓之能人异士。今年78岁的罗伯特？劳伦斯？库恩先生就是这样一位。在一个宇宙中，他是一位精明而成功的商人。不过，我知道他，是因为创办了一个《接近真相》的非盈利电视科学普及节目，制作极为精良”。
　　刘全慧，1963年生，湖南华容人，理论物理博士，湖南大学物理与微电子科学学院物理学教授，凝聚态物理博导。湖南大学理论物理研究所所长。1982年毕业于湘潭电机制造学校（现湖南工程学院）电器自动化专业。1989年研究生毕业于郑州大学物理系粒子物理专业并获同济大学理学硕士学位。1999年博士毕业于中国科学院理论物理研究所，曾在香港、欧美高校和研究所游学。
　　这次引起我们关注，是刘全慧教授在博客中赞扬库恩说的话：“节目所关心的问题，不仅远离商业圈，不过，我知道他，是因为即使在学术圈内，也只有少数道行深厚的专家，例如杨振宁先生，才可能有过深入思考──到2020年为止，就257个问题，他采访过的世界上的顶级专家”。

1、数学是发现的还是发明的
　　刘全慧教授说：我认真聆听过第48个问题：“数学是发现的还是发明的？”。库恩采访过的物理学巨擘，包含史蒂文？温伯格、罗杰？彭罗斯、弗兰克？威尔切克，还有数学家、哲学家、等等。
　　关于“数学是发明的还是发现的”这个问题，库恩他有个总结如下──数学非常精确地描述了物理世界。可能的原因有二：首先，数学以某种方式隐匿在物理世界的底层中并生成物理学；或者，其次，对我们如何描述自然界中某些规规则性，数学是人类提供的描述。因为有太多可能的数学，所以必然有方程适合描述自然。
　　至于数学的本质，有四种可能：1、数学是现实世界中的物理，实际存在；2、数学是一个人类的建构，存在于人类精神上和心智中； 3、数学是柏拉图式的、非物理的、非精神的、抽象的对象；4、数学是虚构的、反现实的、完全编造的。数学要么是物理的，要么是精神的，要么是柏拉图式的，要么是虚构的。只选一个。在深入现实的暗井中，数学使我们更接近真理。
　　刘全慧教授说：“杨振宁先生认为，从存在的角度，数学是发现的！凡是持有这一观点的人，都可以归类于数学本质观点一的持有者”。
　　刘全慧教授的博文说到这里，几乎就介绍完了。当时，我们正在读刚买到的英国近代知名数学家哈代的《纯数学教程》一书。该书以简洁易懂的数学语言，全面系统地介绍了基础数学的方方面面，并对许多经典的数学论证给出了严谨的证明。本书共分10章，在介绍了实数、复数的概念后，从第4章和第5章引入了极限的概念。另外，该书每章后面配有大量有代表性的杂例，供读者参考练习以巩固所学知识。说来与我们“文革”前在理工科大学读书学的《高等数学》课本上下册（基础部分），内容有很多相似，但《纯数学教程》认真看下去，并不更为轻松自然、易于接受──这并不是看不懂，而是要费大量的脑筋，去理解过去学过的知识中的更为精细复杂的分析、演算。
　　这可以看看该书的目录就清楚：第1章实变量：1. 实数；2. 用直线上的点表示有理数；3. 无理数；4. 无理数（续）；5. 无理数（续）；6. 无理数（续）；7. 无理数（续）；8. 实数；9. 实数之间的大小关系；10. 实数的代数运算；11. 实数的代数运算（续）；12. 数sqrt 2；13. 二次根式；14. 关于二次根式的某些定理；15. 连续统；16. 连续的实变量；17. 实数的分割；18. 极限点；19. Weierstrass定理；第1章杂例。第2章实变函数：20. 函数的概念；21. 函数的图形表示；22. 极坐标；23. 函数和它们的图的表示的进一步的例子；24. 有理函数；25. 有理函数（续）；26. 显式代数函数；27. 隐式代数函数；28. 超越函数；29. 其他的超越函数类；30. 一元方程的图形解；31. 二元函数及其图形表示；32. 平面曲线；33. 空间中的轨迹；第2章杂例。第3章复数：34. 沿直线和在平面上的位移；35. 位移的等价与位移的数乘；36. 位移的加法；37. 位移的乘法；38. 位移的乘法（续）；39. 复数；40. 复数（续）；41. 方程i2=-1；42. 用i作乘法的几何解释；43. 方程；44. Argand图；45. De Moivre定理；46. 几个关于复数的有理函数的定理；47. 复数的根；48. 方程z^n=a的解；49. De Moivre定理的一般形式；第3章杂例。第4章正整变量函数的极限：50. 一个正整变量的函数；51. 插值；52. 有限类和无限类；53. 当n很大时n的函数所具有的性质……第5章一个连续变量的函数之极限，连续函数和不连续函数。第6章导数和积分。第7章微分学和积分学中另外一些定理。第8章无穷级数和无穷积分的收敛性。第9章单实变对数函数、指数函数和三角函数。第10章对数函数、指数函数以及三角函数的一般理论。附录1Holder不等式和Minkowski不等式。附录2每个方程都有一个根的证明。附录3关于二重极限问题的一个注记。附录4分析与几何中的无穷。

2、哈代与印度数学家拉马努金的故事
　　要理解成功商人库恩说的话：“数学以某种方式隐匿在物理世界的底层中并生成物理学”，首先要明白数学是世界性，不分国内国外。
　　哈代（G.H.Hardy，1877—l947）英国数学界和英国分析学派的领袖，享誉世界的数学大师，在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。培养和指导了众多数学大家，其中包括印度数学奇才拉马努金和我国数学家华罗庚等。他还著有《数论导引》、《不等式》和《一个数学家的自白》等，前两部著作中译本已由人民邮电出版社出版。
　　1913年哈代发现了S.A.拉马努金。而哈代的名著《纯粹数学教程》是1908年就出版的，这部教科书改变了英国大学中的教学状况。
　　1910年哈代当选为英国皇家学会会员。随后，被哈代自称为生活中的真正的转折点出现了，1911年他开始了同J.E.李特尔伍德的长期合作。哈代比李特尔伍德大8岁，他们结识于1904年，在长达35年的合作中，联名发表了约100篇论文，其中包括丢番图逼近、堆垒数论、数的可积性理论、黎曼s函数、不等式、一般积分、三角级数等广泛的内容。哈代--李特尔伍德极大函数、哈代--李特尔伍德圆法、哈代--李特尔伍德定理等联系着二人名字的数学成果，正是他们亲密合作的写照。在他们集中合作的1920年到1931年间，哈代执教于牛津而李特尔伍德执教于剑桥，他们通过学院的邮政来邮寄数学信件，即使二人同在三一学院时也是如此，并且他们达成一种默契：
　　当互相收到信件时，先不读解法，而是要独立解决其中的问题，直到取得一致意见，最后由哈代定稿。当时，一些不了解内情的国外数学家认为李特尔伍德根本不存在，只是哈代虚构的一个笔名。
　　事实上，李特尔伍德本身就是一个出色的数学家。通过这种密切的学术合作，二人互相切磋促进，共同建立了20世纪上半叶具有世界水平的英国剑桥分析学派。哈代称自己对拉马努金的发现，是他一生中的一段奇妙的插曲。拉马努金出生于印度的马德拉斯，幼年即显示出对数学的兴趣和才能，但因生活贫困，要不断为生计奔波，只能靠自学汲取数学知识。1913年初他给哈代寄了一封信，信中陈述了他对素数分布的研究并列有120条公式，涉及数学中多个领域。
　　这些公式大部分已被别人证明，有些看起来容易，实际上证明起来很困难。特别是后来被L.J.罗杰斯和G.Ｎ。沃森证明的三个公式，完全难倒了哈代。哈代确信拉马努金是一位数学天才，于是邀请他到英国。但作为一个婆罗门教的信徒，拉马努金对离开印度感到踌躇。哈代继续力劝拉马努金到剑桥，并经多方努力为他安排了奖学金。
　　1914年4月拉马努金来到英国。哈代花了很多心血教授拉马努金现代欧洲数学知识。他发现拉马努金知识的局限，竟然与其深奥同样令人吃惊。拉马努金对于证明仅有一种模糊不清的概念，对于变量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是对于数值和组合方面的事实、连分数、发散级数及积分、数的分拆、黎曼ｓ函数和各种特殊级数却有深度的理解。他有很强的直觉和推理能力，其工作和思维方式多具挑战性。在哈代和李特尔伍德等人的帮助下，拉马努金进步很快，在素数分布、堆垒数论、广义超几何级数、椭圆函数、发散级数等领域取得了很多成果。他在欧洲的5年里发表了21篇论文、17篇注记，其中几篇是与哈代合作的。他和哈代一起对整数分拆问题做出了惊人的解决，首创了正整数n的分拆数p（n）的渐近公式，这无疑源自拉马努金那极强的洞察力和哈代对于函数理论的娴熟掌握。
　　哈代与拉马努金的成功合作并未持续太久。1917年5月拉马努金患上了肺结核病，由于战争条件及宗教信仰的束缚，拉马努金未得到良好的医治；1919年2月回到印度，次年4月去世，他年仅33岁。哈代对这位印度数学奇才的英年早逝深感痛惜，他参与整理了拉马努金的论文集，并著有《拉马努金》（1940）一书，书中包括关于拉马努金生活和工作的12篇演讲稿，比较详细地记述了拉马努金的生平和研究成果，并作了适当的评论，是了解和研究拉马努金的重要文献。哈代和拉马努金这一段交往也长期被数学界传为佳话。

3、哈代的故事
　　哈代的《纯数学教程》，在我国是2009年才由人民邮电出版社出版的图书。我们买的该出版社2022年11月出版的第9版《纯数学教程》，109元一本。作者哈代在数论和分析学方面有着巨大的贡献和深远影响。哈代的人品和他的学问，同样受到赞誉。
　　他健谈，严于律己；他富于正义感，痛恨战争，一生中不喜欢任何虚伪的东西。哈代为人谦和，经常强调其他合作者的重要性，而对自己轻描淡写，他曾说过正是得益于与李特尔伍德和拉马努金的平等合作，才达到了他不寻常的大器晚成。哈代具有出色的与他人合作的才能，20世纪数学领域中的精英人物都曾是他的合作者。
　　“我曾为知识领域添砖加瓦，也曾帮别人添枝加叶；这些东西的价值，比起身后留下某种纪念物的大数学家或任何其他大大小小的艺术家们创造的价值，只是程度上有所不同，性质上并无差异。”这就是哈代对自己一生的总结和评价。哈代引导许多年轻人，迈入他们早期研究的大门，并在他们面临困难时给予帮助和鼓励。
　　Ｎ。维纳在他的自传《我是一个数学家》（1956）中，多次表达了他对哈代的钦佩与感激之情。华罗庚在赴剑桥大学进修时，亦得到过哈代的指导和帮助。1936年华罗庚被维纳推荐给哈代，惜才的哈代对华罗庚极为赏识。华罗庚在解析数论，尤其是圆法与三角和估计方面的研究成果，是与他在剑桥的学习和研究分不开的。
　　哈代曾说，他之所以选择数学作为自己的事业，主要是因为数学是他能做得最好的一件事，而不是由于别的堂皇的理由。他的数学成就，基于他对数学的无限热爱和全身心投入。他说研究工作是他一生中经久不衰的一大乐事，数学是他为之耗尽了毕生精力的学科。
　　哈代在《一个数学家的自白》中表达了他对数学的看法。这本书在西方数学界有一定的影响，经常被引用，但其中的某些观点也是有争议的。对于数学是否有其自身的存在状态，哈代写道：“我认为数学实体是在我们之外而存在的，我们的作用就是去发现它、观察它，那些被夸张地描绘成我们的‘创造物’的定理，不过是我们观察的记录而已。”对于数学美，哈代认为“数学的美可能很难定义，但它的确是一种真实的美，最好的数学既是美的，同时又是严肃的”。
　　哈代对数学应用于战争很反感。他说：“真正的数学对战争毫无影响，是一门‘无害而清白’的职业”。他将纯粹数学视为真正的数学而与应用数学划清界限。哈代被公认为他所处时代的英国纯粹数学的领导人，他的活力和热情清晰地印在所有认识他的人的记忆中，他的作品显示出了他过硬的专业知识和对英语文体的精通。
　　哈代哈代外貌帅气。但他和妹妹都终生未婚，他得到了胞妹的精心照料，尤其在他的晚年。1947年，哈代在剑桥辞世。
　　哈代的父亲I.哈代，是克兰利中学的教师。母亲索菲娅是林肯师范学院的教师。哈代的父母很有文化素养，也极重视数学，虽然因经济拮据未能上大学，却为儿女提供了良好的教育。哈代在童年时代就有对数学的敏感。他在克兰利中学接受早期教育时，表现出在数论方面的早慧与多方面的才能。13岁时他获得奖学金，进入当时以数学家摇篮而着称的温切斯特学院学习。1896年又获入学奖学金进入剑桥大学三一学院继续深造，他的数学生涯从此与剑桥紧密联系起来。
　　哈代很早就养成自由提问和探索的习惯，在剑桥开始学习时，他对于机械的授课模式不满，后来幸运地被允许转听应用数学家A.Ｅ。H.拉弗教授的课。这对于哈代后来成长为一名数学家至关重要。
　　哈代在其著作《纯数学教程》中生动地写道：“第一个使我拨云见日的是拉弗教授，他教了我几个学期，使我对分析有了第一个严肃的概念。但最使我感激的是他建议我阅读M.E.C若尔当的名著《分析教程》。我永远不会忘记我读那本杰作时的震惊，这是我这代数学家受到的第一个启迪，读这本书时我才第一次认识到数学真正意味着什么。”哈代在大学学习期间成绩优异。1898年他参加了剑桥的数学荣誉学位考试，这是剑桥大学的传统之一，始于18世纪。哈代成为一等及格者，这主要得益于他平时在迅速解题方面的有效训练，但对传统极具反抗精神的哈代，认为这种考试是没有意义的。
　　1900年哈代他被选为三一学院的研究员，随后以极大的热情投入到数学研究中，第二年与J.H.金斯共同获得了史密斯奖金。1906年他成为三一学院的讲师，直到1919年一直在那儿工作。1900年到1911年间，哈代写出大量级数收敛、求积分及有关问题的论文，这些论文为他赢得了分析学家的声望。

4、纯数学教程能描述普拉昌达吗？
　　要理解成功商人库恩说的话：“对我们如何描述自然界中某些规规则性，数学是人类提供的描述。因为有太多可能的数学，所以必然有方程适合描述自然”──我们拿出哈代1908年出版的《纯数学教程》一书做例子，哈代115年来，分析基础“数量”头头是道，既然“数学是人类提供的描述”，那么纯数学能描述我们“人”吗？特别是从闹革命、搞武装斗争，到成功后治国理政的人，“数”与“人”同吗？
　　我们是1966年前在工科大学学的《高等数学》，时间已过去快57年，这次读哈代115年前写的《纯数学教程》纯属偶然，但也有想知道“纯数学”能不能分析世界的社会现象？
　　特别是2023年1月15日看新闻，偶然听说尼泊尔雪人航空公司一架载72人飞机，从加德满都飞往博克拉的客机突发坠机，起火，已找到30具遗体。尼泊尔总理普拉昌达召集内阁紧急会议应对坠机事件，他稍早时在社交媒体上，对这起事件的发生表示悲痛。
　　这之前2023年1月7日上海“观察者”网，刚发表的《王静：南亚“毛主义”一枝独秀， 为何反遭同道激烈批判？》一文，中国社会科学院马克思主义研究院研究员王静教授介绍：2022年12月25日尼泊尔7党联盟获得执政地位，尼泊尔共产党（毛主义）主席普拉昌达担任总理。20世纪90年代到本世纪初，南亚掀起毛主义运动浪潮，尤以尼共（毛）为最。1996年至2006年，尼共（毛）发起“十年人民战争”；2006年后，尼共（毛）完成了名为“普拉昌达路线”的理论创新，从武装斗争转向议会路线，普拉昌达三次当选国家总理。
　　不过，南亚毛主义运动仍处于严峻的“内忧外患”中。在尼泊尔国内，尼共（毛）在议会中的地位不断被侵蚀；在国际上，印共（毛）等各国毛主义政党批评“普拉昌达路线”过度简化帝国主义问题，违背马列毛主义基本原则。总体上看，毛主义诞生于中苏路线论辩，而本轮南亚毛主义运动则是对新自由主义席卷下严重贫困与不平等的反抗，但其如何在路线分歧、遭受围剿的境况中获得突破，我国又应当如何借助社会主义理论的纽带，通过“一带一路”倡议帮助南亚地区改变现状，还需更多思考。
　　王静教授说：尼共（毛）2006年，在占有巨大军事优势的情况下，尽管尼共（毛）做出了“通过武装斗争1──2年内会完全夺取全国胜利”的判断，但尼共（毛）终究没有进一步推进斗争，而是在推翻封建君主制的背景下，选择与其他资产阶级政党妥协和合作建立资产阶级共和国。尼共（毛）政治路线上的突变与该党2001年以来的一系列理论创新密切相关。2006年普拉昌达在接受BBC的一次访谈中，谈到了建立新的尼泊尔并不需要粉碎旧的国家，以和平民主方式选举出来的民主共和国将会解决尼泊尔所面临的问题。2006年11月在接受意大利报纸《快报》的一次访谈中，普拉昌达进一步阐述了他对未来尼泊尔的展望，即要把尼泊尔变成像瑞士一样的资产阶级民主共和国。2022年12月尼共（毛）普拉昌达三次当选尼泊尔国家总理。
　　据央视新闻，当地时间2022年12月26日尼泊尔共产党（毛主义中心）主席普拉昌达宣誓就任尼泊尔总理。这是普拉昌达第三次担任尼泊尔总理。这个叫普拉昌达的老共产党员，为什么再次当选呢？
　　因为普拉昌达曾经两次出任该国总理，现在当选是第三次。提起普拉昌达，可能我们既熟悉又陌生，熟悉的是他是尼泊尔共产党内一名老党员，而且曾两次执政，现在当选是第三次了。尼泊尔才从君主制脱离出来14年──2008年废除君主制，但尼泊尔政府却经历了10届，在这个10届中，普拉昌达干了三届。12月26日，普拉昌达宣誓就任新一届总理。普拉昌达原名帕苏巴？卡麦尔？达哈尔，而普拉昌达是其化名。从资料显示，用尼泊尔语翻译普拉昌达有“愤怒之火”及“凶猛的人”等，不过普拉昌达却对外称，他的名字没有“愤怒”之意，是指信仰和执着的爱国情感。尼泊尔与印度差不多，以前也讲究种姓，普拉昌达出身于高种姓婆罗门，虽然是高种姓，他的父母是农务，家境一般。9岁上学，后来还担任一段代课老师。
　　普拉昌达年轻时就是个“愤青”，他对尼泊尔政府不满，对王室及各阶层不满，所以他主张建立一个新型社会。而普拉昌达又极度崇拜教员的理论，特别是教员的游击理论，所以普拉昌达带着支持者上山打游击了，并制定了“农村包围城市”的战略。尼泊尔这个国家很穷，而且还长时间处于内战之中。直到2006年11月，尼泊尔首相与普拉昌达签订和平协议，尼泊尔长达11年的内战才结束。关于尼共（毛）与尼共（联合马列）实际都是尼泊尔共和党，只是政见不同，分成两个党派。2018年，两党曾合并为一个政党，统称为尼泊尔共产党，而且该政党出现两个主席并列的局面，普拉昌达与奥利都是该党主席，实际还是各管各的，不久两个政党再次分手。
　　由于尼泊尔共产党的分裂，尼泊尔大会党成为尼泊尔第一大党，该党主席执政。面对这种情况，2022年，普拉昌达与奥利再次合作，重夺执政地位。在尼泊尔议会中三大党派，尼共（毛）与尼共（联合马列）一共110席，大会党89席。这就逼着普拉昌达与奥利合作共赢，也只有合作，尼共才有执政的可能。但普拉昌达对华友好，并不是尼共（毛）党派政策，尼泊尔党派都对中国很好，因为尼泊尔作为夹在中印两国的小国，谁都不敢得罪。尼泊尔即使对印度有意见，也不敢得罪印度，在中印两国关系上，尼泊尔一直寻求平衡。
　　读哈代的《纯数学教程》一书前五章，如“实变量、实变函数、复数”，接着是“正整变量函数的极限、一个连续变量的函数之极限”，从基础概念“数理”对应千变万化的“人事”，确实成功商人库恩所说：“因为有太多可能的数学，所以必然有方程适合描述自然”一样，纯数学教程能描述普拉昌达现象。

5、纯数学教程能解当下科技陷入停滞吗？
　　2023年1月14日“观察者”网发表的《刘典：科技巨头大裁员，说明当下科学技术陷入停滞了吗？》一文，复旦大学中国研究院特邀研究员刘典教授说：“不管是当前科技行业的大周期，还是技术的小周期，目前的科技巨头们都处于一个危机迭加的衰退周期中。中国、美国或者欧盟，都在尝试通过不同的方式探索这个生产力困境的出口，走出这个三期迭加危机”。
　　据百度搜索，刘典还任复旦大学观传媒公共事业部总监。曾任职于中国人民大学重阳金融研究院。兼任工业和信息化法治战略与管理工信部重点实验室研究员、北京科技创新中心研究基地研究员等。个人专著包括《非常法史》《法眼看民国》。在《中国金融》《文化纵横》《人民论坛》等核心期刊发表十余篇研究论文，在《光明日报》《经济日报》《解放军报》《北京日报》等纸媒发表近百篇评论文章。
　　哈代的《纯数学教程》一书前五章，为啥要把“实变量、实变函数、复数、正整变量函数的极限、一个连续变量的函数之极限”等数学基础，反复说透，就像马克思、列宁要解放全人类，要把解决“难民、饥民、灾民、移民”问题说透一样，不像“以苏解马”教的“权权权，命相连”，讲的也是根本──俄乌冲突以来也确证它有效性。
　　因为有人说：全球民族主义加速回潮，原本在全球化中坚持“科技无国界”并享受便利而迅速崛起的全球科技界巨头们，逐渐受到许多目光的审视：俄乌冲突在“元宇宙”尚未到来之前，便向我们展现了“元宇宙”中战争的可能形态──将人群隔开，也可以成为一件武器。如“分裂网”，已然不再仅仅是一种担忧。刘典教授也许没有学过哈代的《纯数学教程》一类深入探讨书“实变量、实变函数、复数、正整变量函数的极限、一个连续变量的函数之极限”等数学基础的书。
　　因为他的文章说的都是“分裂”。当然他也看到：“问题的答案就藏在变化中的科技行业生产力和生产关系之下，其实科技这个‘马大’，停转的时间远比我们想象的要久”。科技到底在哪里？我们来看诸平教授的一篇报道。他的报道没有完过。

6、动态分形磁单极子自旋冰晶与三旋
　　2023年1月26日科学网诸平教授个人博客专栏，发表的《剑桥大学的科学家在干净的磁性晶体中发现了动态分形》一文报道：英国剑桥大学、德国德累斯顿的马克斯普朗克复杂系统物理研究所、美国田纳西大学和阿根廷拉普拉塔国立大学-阿根廷国家科学与技术研究理事会的阿根廷拉普拉塔流体物理和生物系统研究所等的研究人员，合作发现了一种全新的分形，出现在一类称为自旋冰的磁铁中。
　　而之所以令人惊讶，因为分形出现在一个干净的三维晶体中，而通常情况下它们是不会出现的──材料的特性和性能在很大程度上受其尺寸的影响。想象一下生活在一维或二维世界与我们熟悉的三个维度之间的差异。这就是为什么具有分数维的分形自发现以来就成为人们感兴趣的话题。尽管它们看起来很不寻常，但分形可以在不同的地方找到──从雪花到雷击，再到自然海岸线──但这里自旋冰磁铁中值得注意的是，分形在晶体的动态特性中是可见的，而在静态特性中是隐藏的。这些特征激发了“涌现动态分形”的称谓。
　　这里分形是在材料钛酸镝的晶体中发现的，其中电子自旋表现得像微小的条形磁铁。这些自旋通过冰的规则相互配合，模拟了质子在水冰中所经历的约束。对于钛酸镝，这会导致非常特殊的特性──在略高于绝对零的温度下，晶体自旋形成磁流体。“然而，这不是普通的液体。由于热量很少，冰规则在少数地点及其北极和南极被打破，构成翻转自旋，彼此分离，作为独立的磁单极子。
　　这些磁单极子的运动，也导致了量子三旋在这里的发现，证实量子自旋复数现象的合理性──这项最新的磁噪声分析表明，狄拉克80多年前虚拟单极子，是生活在分形世界中，并且不能像一直假设的那样在三个维度上自由移动。单极子的世界需要看起来少于三维，或者更准确地说是2.53维。这里自旋本身的量子隧穿，可能取决于相邻自旋的行为──自旋的构型创造了一个单极子必须移动的网络。这个网络分支成一个维数完全正确的分形。
　　但为啥以前都没有发现呢？因为这不是我们通常认为的那种静态分形。相反，在更长的时间里，磁单极子的运动实际上会抹去并重写分形。这使得分形对于许多传统的实验技术来说是不可见的。分形是动态的这一事实，意味着它们没有出现在标准的热和中子散射测量中，只是因为噪音正在测量磁单极子的运动，它才最终被发现。
　　量子自旋三旋分类的发现，解释了长期以来一直在挑战我们的令人费解的实验结果外，还发现了一种新型分形导致非常规运动在三个维度上发生的完全出乎意料的路线。由此使研究人员有兴趣去应用了解哪些材料中有哪些其他特性，可以根据量子三旋提供的新理解来预测或解释，包括与拓扑等有趣特性的联系──如自旋冰是拓扑磁体最容易获得的实例之一，使人们对它有希望在简单的拓扑多体系统的合作动力学中，有进一步的惊人发现。

7、结束语
　　从数学家哈代到成功商人库恩，说数学，追问”数学是发现还是发明的？“以及”当下科技陷入停滞的原因在哪里？“正如库恩所说：”在深入现实的暗井中，数学使我们更接近真理。“如有人说：数学是无用之用，学的是不同之同，是所有科学的基础。
　　华为总裁任正非先生说得更直白──从2018年中美贸易战以来，在他接待中外媒体记者发表的一系列谈话，如他说：”人工智能的根本是数学，人工智能的本质就是数学。一切新产品和新工艺都不是突如其来、自我发育和自我生长起来的。它们皆源自新的科学原理和科学概念。新科学原理和科学概念则必须来自最纯粹科学领域持续不懈的艰难探索。5G标准来自土耳其教授在2007年发表的一篇数学论文，我们投入了几千名科学家和专家来分解这篇论文，全世界其他公司也投入了几万名科学家和专家，努力去做出5G的标准来了。这位土耳其教授也感到震惊“。任正非先生说的数学都可解决，有的已经解决。
　　最难的还是类似哈代的《纯数学教程》书中”实变量、实变函数、复数“等，最基础数学概念的发展应用，如何兑现库恩说的”在现实的暗井中更接近真理“。例如负实数开方出现虚数，这类似进入”点内空间“，这给量子粒子是”点粒子“的”自旋“，提供了数学是发明又是发现的模糊想象。例如上海交通大学教授吴新忠教授说：”粒子自旋是在某种曲面上的空间点（本征位置）的跃迁式变化，伴随着场力线的扭结变化，是离散的变化，不是球或圈的连续旋转“。当然，这也能联系类似”角动量“的概念，但宏观的”自旋“，还有旋转、自转、转动、体旋、面旋、线旋等类似纯数学教程的分类。
　　例如彭罗斯和辜英求教授的专著《几何代数与统一场论》说的”克利福德平行线“，就类似”不平凡线旋“。而现实中存在上述的纯数学教程讲的虚数，是虚实”乱伦“导致”当下科技陷入停滞“的是非争论。例如蒋春暄教授不满辜英求教授说他：”推出‘引力公式 F=-mc^2/R，是人类最伟大公式，彻底全面解决引力问题’，我觉得蒋老思维混乱，语无伦次，有失风度，不像是做科研的料“。而最近都世民教授，要求大家：”不要把蒋春暄称为‘民间科学家’──他和蒋春暄都是国家航空集团的高级工程师，其研究应称为‘交叉科学’“。
　　2023年1月9日科学网个人博客专栏，辜英求教授发表的《新年的壮举》一文说：”去年3月上海封城之际，就曾向有关部门建议抗疫措施，资料整理成论文，国内期刊认为内容涉政不便发表。我没有针对新冠病毒的实验结果，因此也不便坚持。现在政策调整，终于确证了我的防疫措施的科学性和有效性“。
　　2022年10月10日科学网发表辜英求教授的《诺贝尔物理学奖是不是在贬值？》一文说：”今年的物理学奖，颁给验证贝尔不等式的实验研究，但我自己认真分析过贝尔不等式，分析表明不等式与贝尔想表达的物理现实没有对应关系。个人的感觉是，诺贝尔物理学奖越来越像一本糊涂账，已经越来越无趣了“。钱大鹏教授的跟帖说：”也难怪，长久不见有概念创新和原理性的突破，只好勉为将就了“。
　　是需要”概念创新和原理性的突破“？还是需要从数学家哈代到成功商人库恩的求实精神？2022年5月19日科学网发表辜英求教授的《我的科研成果》一文，他的自我介绍中说：”本人辜英求，高级工程师，复旦大学数学博士和物理学博士后。发表科学论文30多篇，申报国家专利10多项，出版了学术专著《几何代数与统一场论》。主要贡献包括克利福德代数的基础理论和应用，相对论和量子力学的合理诠释，例如基本粒子的旋量解释，恒星和星系的结构模型，天体磁场的起源，循环封闭的宇宙理论等。基础研究是创新之源、强国之基，对科技进步具有战略意义和领引作用。我的成果，希望发挥应有的作用。新颖见解和尖锐批评，都是热烈欢迎的。真理越辩越明，直面挑战才有可能登上高峰“。说得好！
　　我们对辜英求教授研究”克利福德代数“，是非常高兴的。但话说回来，彭罗斯说的”克利福德平行线“与”不平凡线旋“有没有联系？量子力学”点内自旋“与理论力学”点外自旋“有没有联系？等等，哈代1908年出版的《纯数学教程》，那种细致基础的”数理“分析和演示，为啥在115年后还是根本？因为”当下科技陷入停滞“。

§　参考文献
　　[1]刘全慧，数学是发现还是发明的？2023年1月6日科学网个人博客专栏；
　　[2][英]戈弗雷？哈代，纯数学教程（第9版），张明尧翻译，人民邮电出版社，2022年11月；
　　[3]王德奎，三旋理论初探，四川科学技术出版社，2002年5月；
　　[4]孔少峰、王德奎，求衡论──庞加莱猜想应用，四川科学技术出版社，2007年9月；
　　[5]王德奎、林艺彬、孙双喜，中医药多体自然叩问，独家出版社，2020年1月；
　　[6]王德奎，解读《时间简史》，天津古籍出版社，2003年9月；
　　[7]王德奎，中国与世界秘史，金琅学术出版社，2019年；
　　[8]叶眺新，中国气功思维学，延边大学出版社，1990年5月；
　　[9]乌达明，质子时空元素的量子色动化学初探──自然科学与社会科学全息交叉探索（3），Academia Arena，May 25, 2022。