答闲人问21世纪科学生产提倡科学方法有必要吗

──对21世纪数学导读整理摘要

⊙ 胡作玄／文

21世纪数学不是凭空产生的
　　1930年之后，布尔巴基集体和个人成为20世纪数学举足轻重的力量。进入21世纪，数学的作用将更为提升，每门科学都将从数学中受益。站在20世纪数学巨人的肩膀上，当代教育，甚至大学中的数学，不可否认，主要是三四百年前甚至更早的内容。
　　当然，许多学者也想学习近200年的数学，就像物理学、化学、生物学那样。激光器出现不过50年，DNA稍微早一些，也不到60年，它们已经是家喻户晓了。如果从纵向来看，把20世纪的数学划分为三大时期，这个划分标准是以20世纪最有影响的数学家集体──布尔巴基学派为准的：1900～1930年，前布尔巴基时期；1930～1980年，布尔巴基时期；1980～2010年，后布尔巴基时期。
　　后布尔巴基时代出现许多极端复杂的结构，超出布尔巴基的简单而漂亮的结构。例如，量子群（它既非量子，也非群），孔耐一人提出的非交换几何，格罗莫夫的辛几何与几何群论，以及顶点算子代数等。这些数学上复杂结构却同物理学中的场论与弦论有着神秘的关系，这种关系的确超乎物理学家和数学家的想象。与此有联系的还有1970年代末以来低维拓扑的突破，1维、2维的拓扑学相对简单，5维及5维以上的拓扑学也有很漂亮的处理方法，只是我们身处的3维及4维，拓扑有着异常的复杂情形。令人叹为观止的是，它们与前沿的物理学有着不可思议的关联。
　　1、19世纪的数学，对于大多数人来讲相当难。1801年，24岁的高斯出版了他的《算术探究》，其中大部分内容给数学专业的24岁大学生及研究生读，能有多少人理解呢？
　　不到21周岁就英年早逝的伽罗瓦，他所创造的伽罗瓦理论。又有多少人知道呢？由于对数学史的无知，许多人至今甚至不懂射影几何和非欧几何，更不用说现在十分热门的李群及李代数了。
　　在1900年之前，数学已经积累了大量的知识。到1900年，全才的数学家已不多见。数学被划分为三大块：代数、分析、几何。分析与几何占了数学的主要部分，数论被归入代数之中。在当时，纯粹数学与应用数学不太分得清，从高斯到庞加莱，他们都是纯粹数学家，也是应用数学家，甚至还有其他科学家的头衔：高斯是物理学家、天文学家、测地学家，同时，他也是计算大家。当然，他没有后来的先进计算工具，可是他提供了先进的算法，其中有的至今还在用。
　　这样，1900年前的数学，我们可以划分为五部分：数论、几何、代数、分析、计算数学。其中数论是研究数的，几何是研究形的，它们是有“对象”的学科。而计算数学、代数和分析则是“操作”性或计算的学科。其主要目的是设计好的算法。计算数学偏重于数值计算，而代数则看重于符号计算，当时主要目的是求解方程，特别是代数方程。分析从微积分开始，从一开始就着重于无穷的演算。因此，记住下面的名言是有好处的：分析是无穷的代数，代数是有限的分析。
　　2、19世纪数学家最大的贡献，在于碰到计算问题不是去傻算，而是要考虑可行性的问题。
　　在这种情形下，也形成一些重要理论。其中最突出的就是前面谈到的伽罗瓦理论，也就是代数方程有没有根式解的问题。挪威数学家阿贝尔已经证明，不是所有五次及五次以上方程都有根式解，即由方程的系数经加、减、乘、除及开方得到的解。当然，这不意味着所有五次及五次以上方程都没有根式解，也就是有的方程有根式解、有的方程没有。伽罗瓦理论就是对于任何代数方程找到一个判断标准，来判定它是有根式解还是没有根式解。伽罗瓦理论反映出在数学实践及应用过程中，不是盲目地想当然地蛮干，而是建立理论并接受理论的指导。
　　数学主要是一种理论知识，它虽然有实用及实践的背景，但理论很快就逐步地独立发展成为新的数学学科和分支。伽罗瓦理论产生出“域”和“群”的概念，它们分别成为新的数学研究对象。自然，以它们为研究对象的理论（或学科、分支）就称为“域论”和“群论”，这些数学理论又在许多理论及应用领域找到自己的应用。只不过，只看教科书，你就不了解为什么研究“群”这种抽象的数学对象（而不是过去相对直观的数及形），更不了解怎样去研究它。这里把20世纪数学简单地梳理，1900年以前的数学沿着各自发展的途径各有相当的进展，我们可以称之为经典数学，大致就是上面所说的五大块。
　　3、20世纪数学的最大进展，就是给数学增添了无比丰富的新内容，它们占了现有数学内容的90%以上。
　　从历史的观点看，这些新内容与经典数学也有密切关系，然而，它们自身繁衍的力量决不可小视。也许正因为此，它们同应用数学的联系更少了。可是另一方面，这些抽象的数学仍然对自然科学乃至其他领域有着“不可思议的有效性”，最典型的例子就是群论在原子与分子结构、核结构乃至粒子物理以及晶体物理中的应用。反过来，纯数学中的大问题（例如黎曼假设）与物理学中谱线分布有关。
　　对20世纪数学最大的推动力来源于康托尔的集合论。他的无穷集合的概念给数学带来两个新趋势：研究无穷与研究结构。它们分别导致数理逻辑（可称之为元数学）与结构数学。结构数学包括现代数学的基础：抽象代数、一般拓扑、泛函分析、微分流形等理论。对现代数学影响最大的另一推动力是计算机，它导致离散数学在第二次世界大战之后脱颖而出。
　　20世纪的世界观与19世纪的主要不同之处，是“不确定性”的无处不在，研究它们的数学──概率论与数理统计也应运而生。这样，20世纪数学的新领域又有五个：元数学、结构数学、离散数学、 随机数学、统计数学。计算机与它们和经典数学各领域的杂交也产生许多新的边缘分支，例如计算机代数、计算几何、计算群论等。必须看到不同领域内涵不同，范围大小各异，更重要的是它们互相交叉产生许多新的学科。还有由力学和物理科学中的概念经过抽象与推广也产生新的数学学科，例如位势理论、动力系统理论、遍历理论（由统计物理学中的各态历经假设衍生出来，而这个假设对物理学反而意义不大）等。

历史分期强调布尔巴基带来新的统一性

布尔巴基的统一的基础，是数学结构的概念。

1、在前布尔巴基时期，前辈的大师已经创立了不同于经典数学的新兴领域，特别是由诺特、阿廷所创立的抽象代数学。1930到1931年，范·德·瓦尔登在前辈成就的基础上出版了划时代的著作《近世代数学》Ⅰ，Ⅱ。从此之后，代数学习与研究的框架完全不同于经典数学，经典代数学的解方程的内容也只占很少一部分。

同样，也是在这个时期，泛函分析从希尔伯特等人的工作中兴起，1932年总结在冯·诺伊曼的《量子力学的数学基础》和巴拿赫的《线性算子理论》等专著中。泛函分析也在这一年成为一门正式的数学学科。当然，当时还只是第一步抽象，还没有远离比较具体的函数、算子等概念；而第二步抽象，例如拓扑向量空间的概念以及更抽象的“算子”代数等观念，则要等到布尔巴基以及像冯·诺伊曼及盖尔范德等大家的工作了。这主要由于更抽象的概念需要一般拓扑学的系统化。在前布尔巴基时期，虽然有豪斯多夫等人（包括苏联数学家）的工作，但系统化的工作真要靠布尔巴基。

实际上，不懂拓扑，“连续数学”几乎寸步难行。有了拓扑，才能产生像广义函数论以及偏微分方程理论上的突破。

在前布尔巴基时期还产生出代数拓扑学以及李群、李代数的系统研究。这些都在布尔巴基的《数学原本》中得到统一的处理。布尔巴基的巨著以数学结构的观念统一了大部分数学，并且由此衍生出大部分数学对象，它们形成当代数学的主流。其中最突出的是代数拓扑学和微分拓扑学（它们被称为现代数学的女王）、代数数论与代数几何以及现代分析（由泛函分析所推动分析）等。

2、它们的重要性可以由数学大奖获得者的工作看出。到2008年，48位菲尔兹奖获得者中，大约一半以上的获奖者工作与拓扑及代数几何有关，与布尔巴基数学直接相关的占四分之三以上。真正经典数学的获奖者不过寥寥几位。这也从另一角度看到布尔巴基在20世纪数学中的巨大影响。在布尔巴基的主笔狄多涅的著作《纯粹数学的全景》为布尔巴基时代的数学做了一个很好的总结。

后布尔巴基时期的数学科学有无尽的前沿，数学更是一个急速扩张的领域。由高斯和庞加莱那样的全能数学家进行独裁统治的时代已经一去不返了。20世纪中期，数学迎来了由布尔巴基集体的寡头统治时代。布尔巴基无疑是他们那个时代的精英，他们创造出许多尖端数学，而且也懂得当时大部分数学。他们知道，数学是年轻人的科学，于是规定布尔巴基成员50岁退休。如果从1935年布尔巴基成立时算起，布尔巴基集体到1985年也走完了50年。50年间，布尔巴基繁衍了四代，可以说几乎每个人都是好样的，更不能说一代不如一代。例如，第二代的塞尔是第一个“三冠王”，也就是最重要的三个国际数学大奖──阿贝尔奖、沃尔夫奖、菲尔兹奖的获得者。也许有人对某时、某位获某奖者有微词，但不可能获得很多荣誉的人都来自学术外的原因。

然而，即使包括塞尔这样的天才集体也很难掌握当前的全部数学，更不用说后布尔巴基时代的数学了。

一位第三代的布尔巴基成员曾以“布尔巴基的缄默”来反映当前的情况，到了1980年代，布尔巴基的巨著仍在出版并翻成英文，布尔巴基的活动就只剩下布尔巴基讨论班了。布尔巴基的缄默并不意味着布尔巴基遗产的式微，数学结构仍然是理解“80后”数学的钥匙。

3、80后数学成就中有许多是布尔巴基数学自然的开花结果。典型的例子有莫德尔猜想的证明、费马大定理最终成为真正的定理，以及椭圆曲线是模曲线的完全证明。

这有时又提醒我们，现实世界的科学仍然会为数学提供相当有趣的问题。现实世界中的许多数学问题超出布尔巴基的概括，特别是随机数学和离散数学。我们生活在一个不确定性的世界中，概率的概念及演算也很早就有，它们几乎与微积分出现同时，并且有着越来越多的应用，但比起确定性的数学来一直处于另类的地位。这种状况在20世纪末到21世纪有了很大的改变。这与金融数学的出现和最近爆发的金融危机不无关系。布尔巴基把概率论归结为测度论，理论上漂亮但应用上并不理想。现实中许多问题要靠硬分析。这些成就最近开始在数学殿堂中获得承认。

4、2006年似乎是转折的一年，第一位以概率论工作的菲尔兹奖获得者出现，另三位中两位的工作也与概率论有关。2006年的国际数学家大会新设了高斯奖，首届获此殊荣的是日本数学家伊藤清，他是随机分析之父，也是在华尔街无人不知的数学家。2007年阿贝尔奖颁发给印度数学家瓦拉丹，他是概率论专家、大偏差理论的开拓者之一。可以说，随机数学是经典数学与布尔巴基数学之后的第三类数学。数学从一开始就是离散数学。微积分出现后连续数学大行其道，电子计算机的问世激发了离散数学的大发展。其实，经典数学中许多领域也处理离散对象，如初等逻辑、初等数论、初等概率论乃至有限群论、有限域论等。

现在，真正离散数学的主要分支是组合学与图论。近三四十年理论和应用的成果层出不穷。组合学的大家也获得数学界的赞誉。匈牙利数学家爱尔多什早在1983年就荣获沃尔夫奖，另一位匈牙利数学家洛瓦兹是仅次于怀尔斯的最年轻的沃尔夫奖获得者，他是2006—2010年国际数学联盟主席。布尔巴基的数学结构思想对于离散数学来说并不陌生，但比较难得的是，利用艰深的结构数学解决组合数学问题。其中最著名的是斯坦利用先进的交换环论解决组合几何中的上界猜想。他的《计数组合学》（1986年，1999年）已成为这门学科的经典著作。另外，“代数组合学”及“加法组合学”也都成为当代的热门学科。图论中更是有许多提起来容易而极难解决的问题，例如四色定理和哈密顿回路问题。

21世纪科技产业链创新一个办法要盯着谁

近年来，这个领域也有极多的成就，例如2005年塞缪尔等人证明了“强完美图猜想”，而弱完美图猜想则早在1972年由洛瓦兹证明。离散数学不仅有许多重要应用，而且对计算复杂性及形式证明有理论价值。80后的数学成就还有很多，例如小波理论和密码学等，它们都能从经典数学和结构数学中找到源头，如果你愿意的话，也可以说应用推动了它们的发展。

我们不可能对于如此广阔的数学领域，作哪怕是极其简单的概括。但是，数学是数学家的创造，要知道一点数学，一个办法是知道那个时代的著名数学家。1900年之前的数学家，也许知道50位甚至25位就够了。可是对20世纪有决定性影响的数学家，至少有500位。这里列举其中最重要的，前面五位是个人：庞加莱、希尔伯特、外尔、冯·诺伊曼、柯尔莫戈洛夫，他们在深度、广度、高度方面难以超越。

后面几位涉及较为专门的大家，把他们的大名后面加上一个国家，除了哥德尔外。他们是：诺特、阿廷及德国学派；哥德尔；勒贝格、嘉当及法国学派；维纳及美国学派；哈代、李特伍德及英国学派。如果在柯尔莫戈洛夫后面加上苏联学派，20世纪的数学蓝图大致清晰可见。时至今日，俄、美、法、德、英仍然是数学上五大强国，匈牙利及波兰也很可观。