3、非碰撞的奇点解:百年悬而未决的问题 (庞勒维──冯泽培尔──萨瑞──夏志宏──哥维尔) 太阳系中所有行星及其它们的卫星基本上都以太阳为参照物做着周期运动。然而在宇宙中并非所有星球都能保持这种周期运动,即使今天各种街头小报上仍然经常充斥着一些关于将有小行星撞击地球,从而人类将面临灭顶之灾,许多好莱坞电影也使用现代科技栩栩如生地向我们展示了这种可怕的灾难。尽管从科学上讲在短期内我们并不用杞人忧天,但是在漫漫宇宙中,星球的碰撞并非不可能,现在许多科学家都相信曾经一度独霸地球的恐龙正是在一次小行星撞击地球后灭亡的。 既然N体问题本来就是被用来作为星球运动的模型,我们可以猜想在N体问题某些解里会有碰撞发生。事实上大家可以看到即使在二体问题中,如果两个质点的相对位置总在一条直线上的话,它们是可以在有限时间内就碰撞在一起的,这样这个微分方程的解在这一时刻就失去意义了因为方程右面某些项的分母成了零。在这种情况下我们称方程有一个奇点(singularity),而这个奇点就是一个碰撞(collision)。但是在微分方程的理论中,奇点并不都是这样的碰撞类型的。一个简单的例子是方程 x'=x2 的非零解总是在有限时间里就跑到无穷远去了,这种现象我们称之为爆破(blowup)。 我们知道对于N体问题我们一般更关心质点之间的相对位置,所以如果至少其中两个质点之间的相对距离在有限时间里就跑到无穷远,我们就可以说爆破在N体问题中出现。如果这是真的宇宙的话,那就意味着这个宇宙在一段时间后在没有碰撞的情况就消失到无穷远的尽头去了。这似乎大大有悖一般人对于宇宙的认识。但是从N体问题的方程来看,这似乎并不太可能发生,因为当方程中的距离项变大后,距离变化的速度就小了,爆破似乎就不会发生了。事实上对于二体问题,大家很容易证明爆破不会发生。但是,当N大于二呢?大家可以从庞加莱的工作中看出,我们的回答应该谨慎一些...... 历史上关于N体问题中奇点的研究,是由和庞加莱同时代的另一位法国数学家庞勒维(Paul Painleve)开始的。庞勒维在数学上也许不如庞加莱声名显赫,但是另一方面数学教授只是他的职业之一。在法国历史上,庞勒维是被作为著名的政治家记载的。在他不做巴黎大学教授的时候,他从1914年到1933年去世为止一直在法国政府任内阁部长,并曾两度出任法国总理。(无独有偶,在同一时代另一个做过法国总理的正是庞加莱的一位表弟)。庞勒维对于N体问题中奇点的研究,也和前面提到的瑞典和挪威国王奥斯卡二世的名字联系在一起。1895年奥斯卡二世邀请庞勒维到斯特哥尔摩大学(University of Stockholm)讲学,并亲自到讲演厅和教授学生们一起聆听庞勒维的精彩演讲。这位爱好数学的政治家和另一位爱好政治的数学家的相逢确是数学史上一段佳话。庞勒维在斯特哥尔摩做了23次的系列演讲,给后人留下了长达五六百页的演讲笔记,而他的主题就是微分方程中超越函数及其对N体问题奇点的应用。庞勒维证明了在三体问题,奇点必须是碰撞解,也就是说爆破是不可能在三体问题中出现的。但是在他笔记的第588页,他猜测当N大于三时,N体问题存在非碰撞的奇点解。这就是后人称为庞勒维猜想的著名问题。庞勒维想象了这样一种可能性: 一个质点在其他质点之间徘徊,当它几乎和某个质点撞上时,又恰好躲开,过一会儿又和另一个质点几乎撞上,这样周而复始但所有这一切都发生在有限时间内。然而这种奇特的振荡形爆破是否可能发生呢?这正是庞勒维的猜想。 庞勒维拉开了长达近百年的发现N体问题非碰撞的奇点解的帏幕。做出第一个重要贡献的是瑞典天文学家冯泽培尔(Hugo von Zeipel),他正是1895年庞勒维演讲时在座的一个年仅22岁的听众。在他1908年一篇仅四页的论文中,他证明了N体问题如果有非碰撞的奇点解,那么质点间相互距离一定要在有限时间内变成无界,也就是说爆破一定要发生,尽管这种爆破可能是庞勒维所描述的奇特的振荡形爆破。冯泽培尔的结果至少说明不会有其他更奇怪的奇点在N体问题中出现,这一结果在1971年被美国西北大学教授萨瑞(Donald Saari)推广到:如果有非碰撞的奇点解,质点必须有很强烈的振荡,这样人们就更关心振荡形爆破到底会不会发生的问题了。在六十年代到八十年代的时间里,许多数学家构造出N体问题的一些特殊解,其中有些解具有强烈的振荡性,但是它们仍然不是真正的非碰撞的奇点解。例如俄国数学家斯特尼科夫(K. Sitnikov)在1960年构造了这样一个三体问题的解:两个等质量的质点A和B在一个平面上互相环绕着在椭圆轨道上运动,第三个质量很小的质点C在和平面垂直的一条直线上来回振动,只要选择合适的初始值,C就会无穷次来回穿越AB所在平面,而且振动的幅度越来越大,最后在无穷的时间内振幅会趋于无穷大。因为这里需要的时间是无穷,所以这个解并不是一个奇点解。这样的解似乎有悖常理,但是数学家们用他们巧妙的构思证明了在一定条件下这确实会发生。 1975年两位美国数学家马瑟尔(John Mather)和麦吉尔(Richard McGehee)构造了一个共线的四体问题的解,这个解确实会在有限的时间内使某两个质点之间的距离达到无穷。但是这仍然不是庞勒维所希望的非碰撞的奇点解,因为在这个例子中,在达到最终这个非碰撞的奇点之前,四个共线的质点互相之间必须先有无穷多次的碰撞,所以非碰撞的奇点并不是这个轨道中第一个奇点。在这之前,人们已经发现如果仅仅是两个质点碰撞的话,那么这个解可以用弹性反弹在碰撞后继续下去(再多质点同时碰撞就不行了)。所以马瑟尔和麦吉尔利用这个性质设计了这样一个奇特的例子。这以后许多人对于最后发现真正的非碰撞的奇点解更有信心了,然而在这之后的十几年里,进展是微弱的,有人证明了如果这样的例子确实存在于四体问题中,那么这四个质点应该几乎是在一条直线上的。也就是说真正的非碰撞的奇点也许就跟马瑟尔和麦吉尔的例子很接近,然而时至今日,这样的四体问题的例子还是没有人能找出来。 从庞勒维开始的近百年里,许多数学家在非碰撞的奇点问题上做出了巨大努力。而所有这些努力最终在庞加莱发表他的重要著作一百周年时结出了硕果──在二十世纪八十年代末到九十年代初,这一百年悬而未决的问题终于被一位年轻的中国数学家夏志宏解决了。夏志宏1982年毕业于中国南京大学天文学系,在上大学时就对N体问题产生了深厚兴趣。大学毕业后他来到了美国西北大学跟随刚才提到过的萨瑞从事N体问题的研究。等到1988年他获得博士学位时,在他的博士毕业论文中他宣称他已经找到了一个五体问题的解,这个解会在有限时间内产生一个非碰撞的奇点。这样一个惊人的结果被一个二十几岁的学生获得了,几乎所有人的第一个反应都不是惊喜而是怀疑。事实上夏志宏证明的初稿中确实存在表述上的缺陷,某些关键的证明也有值得推敲之处。在这篇几乎长达百页的文章被投稿到最著名的数学杂志“数学年刊”(Annals of Mathematics)两年后,夏志宏得到了一个模棱两可的答复,审稿的人无法判断他的证明是否正确,但确实指出了其中的一些问题。夏志宏并不气馁,他继续改进补充他的证明,又把修改稿投了上去。这时的数学年刊处理这篇稿件的正是前面提到的普林斯顿大学教授马瑟尔。在1991年秋季学期,马瑟尔在普林斯顿组织了一个讨论班专门讨论夏志宏的论文。在学期结束,马瑟尔得出结论:证明是正确的。论文发表在1992年的数学年刊上。庞勒维猜想终于被彻底解决了。夏志宏在毕业后曾在哈佛大学和佐治亚理工大学先后任教,1994年起他又回到了母校西北大学任数学系的正教授, 2001年起任潘克讲座教授(Arthur and Gladys Pancoe Professor of Mathematics)。在解决庞勒维猜想后,夏志宏又在动力系统领域做出了许多其他的重要贡献。虽然现在仍然年纪不满四十,他已经成为国际动力系统和天体力学领域的领袖人物之一。1999年夏志宏受聘为北京大学数学学院第一批长江计划特聘教授。 我们来看一看夏志宏构造的例子究竟是什么样子的。在五个质点中,其中四个具有同样的质量(我们把他们叫做 m1, m2, m3, m4),而第五个的质量 m5 相比之下很小。m1 和 m2 在一个和 x - y 平面平行的平面上以椭圆轨道运行,m3 和 m4 则在另一个平行的平面上以椭圆轨道运行,他们的运动轨道恰好相反。而小质量的 m5 将保持在z - 轴上运动,不停地穿越其他四点所在的平面,好象充当两个平面轨道之间的穿梭快车。这里我们注意到 m5 虽然将穿过这两个平面无穷次,但并没有经过这两对质点的轨道。另一方面这两对椭圆轨道都很扁,所以时间选取得好的话,m5 穿过轨道平面时,两个质点也几乎处于最近距离的位置,所以这时三个质点的距离都很近,几乎是一个三重碰撞。事实上夏志宏的设想就是这样,当 m5 接近其中一个轨道平面时,总是有一个近乎三重碰撞发生,然后m5 又被弹到另一平面附近,重复同样的过程只是方向相反。这样周而复始,m5 的加速度越来越大,最后使得两个轨道平面的距离在有限时间里趋向了无穷大。这种听起来并不复杂的想法在数学实施起来就困难多了。关键是怎样找到这样的初始条件。在所有可能的初始条件中,当m5 每进行一次穿梭,那些会导致平面质点对会碰撞或者使m5经过轨道平面时间不好的初始条件都被去掉了,经过无穷次这样的去除,夏志宏证明了还是有一个象康托集一样的集合没有被去掉,在这个集合中的初始条件就会导致非碰撞的奇点。在证明过程中,夏志宏不仅要克服繁复的计算带来的技术困难,他也引进了很多新的想法。更重要的是,他使用了近百年来几代数学家在研究N体问题中发展出来的所有精华理论和技巧,在这个坚实基础上为非碰撞奇点问题这座建造了一百年的大厦终于砌上了最后一块也是最美丽的宝石。 值得一提的是,在夏志宏正在为他的论文做后期修改的时候,另一位美国数学家哥维尔(Joseph Gerver)在听到夏志宏的结果后,深受震动。他本人也已经在这一领域耕耘多年,事实上他本人也很接近构造出一个非碰撞奇点的例子,只是似乎已经到了科学真理殿堂前却怎么也找不到最后一把钥匙。然而在夏志宏成功的激励下,他在几个月后也终于完成了他的构造。他的例子和夏志宏的完全不一样,他的系统中有3N个质点对称地以某种方式排在平面上。但是在他的例子中,这个数字N只知道是个很大的整数,但不清楚到底多大才可以实现。但是不管怎样,庞勒维的猜想在一百周年时有了两种炯然不同的完整答案,并且在实现这一光辉目标的路途中,天体力学和动力系统的理论又被大大发展许多许多。
4、后记 尽管N体问题中著名的庞勒维猜想已经在上个世纪结束前被成功地解决了,N体问题本身还是有太多的神秘领域值得新世纪的年轻数学家们探索。也许在今后几个世纪里,N体问题将仍然是新的数学和新的思想的源泉,就象过去的三百年一样。例如近年来在三体问题周期解方面又有最新进展,一种三个质点在一个平面8字形轨道上周期运动的解被法国数学家陈思纳(Alain Chenciner)和美国数学家蒙哥马利(Richard Montgomery)发现,而且进一步的计算机数值模拟还发现了更多的具有各种奇特轨道的周期解。关于这方面的最新研究成果,请参看文献[5]。 对于N体问题的历史,历史进展,和相应数学发展的过程,一本更详细的通俗读物是美国普林斯顿大学出版社1996年出版的“天体的邂逅,稳定性和混沌的起源”(Celestial Encounters, the origins of chaos and stability)[3]一书,作者是Florin Diacu 和 Philip Holmes。对于本文所涉及的内容,此书有非常详细而又通俗易懂的介绍,同时书中还提及了我们这篇文章没有谈到的符号动力系统与混沌(symbolic dynamics and chaos), 天体运动的稳定性问题和著名的KAM理论。大学理工科学生完全有能力读懂这本引人入胜的小书,进而通过阅读这本书了解到许多二十世纪数学和天体力学最重要的一些进展,也能对N体问题这一最基本的物理问题有初步的认识。 关于庞加莱在三体问题上的工作,读者可参看美国数学会和伦敦数学会1997年联合出版的“庞加莱和三体问题”(Poincare and the three body problem)[1]一书。作者是June Barrow-Green,一位专门从事数学史研究的学者。从中我们可以看到许多当时的原始历史资料和更多的历史逸事。关于庞勒维猜想及夏志宏的解决方法,读者也可以参看两篇英文的短文[2]和[6]。本文的大多数内容也取材于上述参考文献。
参考文献: [1] Barrow-Green, June, Poincare and the three body problem. History of Mathematics, 11. American Mathematical Society & London Mathematical Society, 1997.
[2] Diacu, Florin N., Painleve's conjecture. Mathematical Intelligencer, 15 (1993), no. 2, 6--12.
[3] Diacu, Florin; Holmes, Philip, Celestial encounters. The origins of chaos and stability. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996.
[4] Hilbert, David, Mathematical Problems. Bulletin of American Mathematical Society 8 (1902), 437--479. Reprinted in Bulletin of American Mathematical Society 37 (2000), no. 4, 407--436.
[5] Montgomery, Richard, A new solution to the three-body problem. Notices of American Mathematical Society 48 (2001), no. 5, 471--481.
[6] Saari, Donald G.; Xia, Zhihong, Off to infinity in finite time. Notices of American Mathematical Society 42 (1995), no. 5, 538--546. |