给王元院士的公开信

近日，我看了《王元院士谈菲尔茨奖获得者陶哲轩的工作》一文，针对王元院士谈的关于23个等差素数数列。特向王元院士作一个较全面的分析。希望能博院士一笑！

首先表明：等差素数数列与等差数列的关系：等差素数数列存在于等差数列之中，等差数列是等差素数数列的基础。下面所说的等差素数数列与等差数列，指的就是陶哲轩的23个等差素数数列。

主要汇报内容：

1、该等差数列的最小素数删除因子是什么？为什么？

2、该等差素数数列存在的原因是什么？为什么？

3、该等差素数数列是否能逃避素数删除因子的删除？那么素数删除因子是哪些？各删除因子都删除了该等差数列的哪些项？

4、该等差素数数列的首项是该等差数列的首项吗？如果不是，那么，该等差数列首项又是被哪个素数删除的呢？

具体回答如下：

一、该等差数列的最小素数删除因子是什么？为什么？

因为，该等差素数数列共有23项，大于素数23-1，所以，该等差素数数列必然排除了素数删除因子2、3、5、7、11、13、17、19、23。即，该等差数列的最小素数删除因子为29。具体如何排除这些素数删除因子的删除，请看后面的附件。

二、该等差素数数列存在的原因是什么？为什么？

1、因为，公差是44546738095860，44546738095860=2*2*3*5*7*11*13*17*19*23*99839，首项是56211383760397，首项不能够被素数删除因子整除。根据“奇素数与奇合数的区别”，所以，排除了素数删除因子2、3、5、7、11、13、17、19、23，99839的删除（详见附件）；

2、该等差素数数列的23个连续项，界于奇数素29至小于32190676之内的素数删除之前，或者这些素数的前后删除之间。

三、该等差素数数列是否能逃避素数删除因子的删除？那么素数删除因子是哪些？各删除因子都删除了哪些项？

因：该等差素数数列的首项56211383760397，公差44546738095860，末项1036239621869317，√1036239621869317≈32190676.即删除因子为大于29，小于32190676之内的素数，没有逃避所有的素数删除因子的删除；就是对上面所说的排除的素数删除因子来说，也只是排除，没有逃避，比如说排除的素数删除因子7，因为，等差数列的首项是56211383760397，56211383760397/7=8030197680056…5，因为，公差能够被素数7整除，公差*N+首项为N+1项，而公差*N也能够被素数7整除，所以，该等差数数列的每一项除以素数7余数都为5，不能够被素数7整除（删除）。

该等差素数数列，还必须不被大于29，小于32190676之内的素数删除，是该等差素数数列存在的必要条件。

必须确保这样多的素数删除因子不对这23项等差数列进行删除，如果说，我们把该等差数列进行延伸，这些素数删除因子应该删除哪一项呢？本人在这里计算2个素数删除因子，其余都是这样进行计算的！

1、素数29的删除：首项56211383760397/29=1938323577944.…21，

公差44546738095860/29=1536094417098…18，

有（23*18+21）/29=15，即第23+1=24项被素数29删除；素数29对该等差数列的删除为：24±29X项。

2、素数31的删除：首项56211383760397/31=1813270443883…24，

公差44546738095860/31=1436991551479…11，

有（26*11+24）/31=10，即第26+1=27项被素数31删除；素数31对该等差数列的删除为：27±29X项。

四、该等差素数数列的首项是该等差数列的首项吗？如果不是，那么，该等差数列首项也是被哪个素数删除的呢？

因为，该等差素数数列的首项大于公差，所以，该等差素数数列的首项不是该等差数列的首项。该等差数列首项应该是56211383760397-44546738095860=11664645664537，那么，11664645664537又是被哪个素数删除因子删除的呢？

按上面的计算方法，我们有：首项56211383760397/89=631588581577…44，

公差44546738095860/89=500525147144…44，有（88*44+44）/89=44，即第88+1项被素数89删除，素数89对该等差数列的删除为：89±89X项，验证，当X=0时，为89项，89项的数字为：首项+公差*88=56211383760397+44546738095860*88=3976324336196077，

3976324336196077/89=44677801530293；当X=1时，为178项，178项的数字为：7940984026727617，7940984026727617/89=89224539626153。那么，素数89的删除间隔为：7940984026727617-3976324336196077=3964659690531540。

我们再将素数89的删除向前面推一个数呢：3976324336196077-3964659690531540=11664645664537，而根据素数89的删除为89±89X项，当X取1时，我们用89-89=0项，而该等差素数数列的首项是1项，那么0项指的就是该等差素数数列首项的前一项，即首项-公差=11664645664537，所以11664645664537应该是该等差数列的首项，是被素数89删除了的。

结束语：该等差素数数列，除了界于素数89的前后删除删除之间外，该等差素数数列界于大于29，小于32190676之内的素数删除之前。

敬请各位老师进行验证！

，

等差素数数列形成的必要条件

在此，向各位老师请教：有关等差素数数列的问题。敬请老师们给学生进行指点！

我认为：等差素数数列形成有两个必要条件：

一、必须排除小素数删除因子的删除

小素数删除因子指：2、3、5、7、11、……N，的连续小素数。我们如何排除小素数删除因子的删除呢（具体请看《素数的综合计算方法》）？我们在此进行简单地说明：

1、由于素数2的删除，我们用2N+1，表示素数2删除后的剩余奇数。2N+1即为排除了素数2的删除，由2N+1所形成的公差为2的等差数列，该数列的任何数字，永远不可能被素数2删除；

2、由于素数2、3的删除，我们用6N+1和6N+5，表示素数2、3删除后的剩余奇数。6N+1和6N+5，即为排除了素数2、3的删除后，由6N+1和6N+5所形成的两个公差为6的等差数列，这两个数列的任何数字，永远不可能被素数2、3删除，这里的1和5为小于素数2*3=6，且不能被素数2、3整除的数字（当然，也可以大于6，且不能被素数2、3整除的数字，但它们包含在这两个数列之中，下同）；

3、由于素数2、3、5的删除，我们用30N分别+1，7，11，13，17，19，23，29，共8个公差为30的等差数列，表示素数2、3、5删除后的剩余奇数。这8个等差数列，即为排除了素数2、3、5的删除，由这8个公差为30的等差数列，数列中的任何数字，永远不可能被素数2、3、5删除。这里的1，7，11，13，17，19，23，29为小于2*3*5=30，且不能被素数2、3、5整除的数字；

4、由于素数2、3、5、7的删除，我们用210N分别+1，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，121，127，131，137，139，143，149，151，157，163，167，169，173，179，181，187，191，193，197，199，209，共48个公差为210的等差数列，表示素数2、3、5、7删除后的剩余奇数。这48个等差数列，即为排除了素数2、3、5、7的删除，由这48个公差为210的等差数列，永远不可能被素数2、3、5、7删除，这里的1，7，11，13，17，19，23，……209为小于2*3*5*7=210，且不能被素数2、3、5、7整除的数字；

………………。

正是因为这样，逐渐排除小素数的删除，形成了不能被小素数删除的奇数等差数列，才有可能形成素数等差数列。

这些奇数等差数列，仍然遵循素数的删除规律，什么是素数删除规律呢？

素数删除因子对等差数列的删除。为什么要将素数的删除提升到对等差数列的删除呢？这不叫提升！从有素数的说法那一刻开始，人们就在研究素数删除因子对等差数列的删除。自然数就是公差为1的等差数列；素数2删除了所有大于2的偶数后，人们就对公差为2的奇数等差数列的删除进行研究；…………。

素数删除因子N对等差数列的删除规律:(1）、公差不是素数N的倍数时，素数N对该等差数列的删除是：每N个连续等差数中，必然有一个数字是素数N的删除数或者是素数N本身，N个连续等差数中，只有一个数字是素数N的删除数或者是素数N本身；（2）、当公差是素数N的倍数时，如果该等差数列中，有一个数字是素数N的删除数或者首项是素数N本身，那么，该等差数列的所有数字都是素数N的删除数（如：公差210能被素数7整除，如果该等差数列中有一个数字是素数7的倍数或首项是素数7本身，那么，整个等差数列的所有数字都能被素数7整除或删除）；当公差是素数N的倍数时，如果该等差数列中，有一个数字不是素数N的删除数或者首项不是素数N本身，那么，该等差数列中的所有数字，都不可能被素数N删除（如：210+11所形成的等差数列。公差为210能被素数7整除，如果该等差数列中有一个数字（221）不是素数7的倍数或首项（11）不是素数7本身，那么，整个等差数列的所有数字都不能被素数7删除）。这就是素数删除规律。

根据素数删除规律（1），有下面的说法：

（1）、2N+1所形成的等差数列，虽然不能被素数2删除，它的公差为2，其公差2不可能被大于或等于3的奇素数整除，故，每3个等差数中，必然有一个数字是素数3的删除数或者是素数3本身；每5个连续等差数中，必然有一个数字是素数5的删除数或者是素数5本身；每7个连续等差数中，必然有一个数字是素数7的删除数或者是素数7本身；…………。

（2）、6N+1和6N+5所形成的两个等差数列，虽然不能被素数2、3删除，它的公差为6，公差6不可能被大于或等于5的奇素数整除，故，每5个连续等差数中，必然有一个数字是素数5的删除数或者是素数5本身；每7个连续等差数中，必然有一个数字是素数7的删除数或者是素数7本身；每11个连续等差数中，必然有一个数字是素数11的删除数或者是素数11本身；…………。

（3）、30N+1和30N+7等所形成的8个等差数列，虽然不能被素数2、3、5删除，它的公差为30，公差30不可能被大于或等于7的奇素数整除，故，每7个等差数中，必然有一个数字是素数7的删除数或者是素数7本身；每11个连续等差数中，必然有一个数字是素数11的删除数或者是素数11本身；每13个连续等差数中，必然有一个数字是素数13的删除数或者是素数13本身；…………。

（4）、210N+1和210N+11等所形成的48个等差数列，虽然不能被素数2、3、5、7删除，它们的公差为210，公差210不可能被大于或等于11的奇素数整除，故这些等差数列中，每个等差数列的每11个等差数中，必然有一个数字是素数11的删除数或者是素数11本身；每13个连续等差数中，必然有一个数字是素数13的删除数或者是素数13本身；每17个连续等差数中，必然有一个数字是素数17的删除数或者是素数17本身；…………。

……………………。

从这里可以看出：前面N个小素数的乘积，为等差数列的公差时，取不能被组成公差数的N个小素数整除的任意数字（所谓任意数字，是指不限定在小于公差的数字），为等差数列的起始数，所组成的等差数列。必然不能被组成等差数列的公差数的素数因子整除，它的部分数字必然要被大于这些小素数的素数整除，或者说对数列中的部分数字进行删除。所以，等差素数数列的个数，不可能大于组成该等差数列公差的最大的素数的下一个（大于最大素数）素数减去1。比如说：组成公差为30的小素数为：2*3*5=30，最大的素数为5，下一素数为7，形成等差素数数列为7-1=6，6个连续等差数字都是素数（以下简称下一素数减1）。

二、形成下一素数减1为等差素数数列的必要条件

根据素数的删除规律，形成下一素数减1为等差素数数列必须满足两个条件：1、等差数列必须界于下一个素数的删除之间，即下一个素数的删除为这个数列的首项前一个数，末项的下一个数；2、等差数列必须满足不被其它大素数删除。

1、等差数列必须界于下一个素数的删除之间

（1）、2N+1，是公差为2的等差数列，这里只排除了素数删除因子2，下一个素数3是必然要进行删除的，故，必须界于素数3的删除之间。素数3的删除为：当N=1时，2N+1=3，删除数为N=3X+1，即N为1，4，7，10，……时。具体删除应为：3，9，15，21，27，界于删除数之间的数是：5，7；11，13；17，19；23，25；29，31；……。这就是所谓孪生素数形成的第一个条件。

（2）、6N+1和6N+5这两个公差为6的等差数列，虽然排除了素数删除因子2、3的删除，下一个素数5是必须要进行删除的，这两个等差数列在素数5的删除后，要保留4个连续等差数，那么，这4个连续等差数必须界于下一个素数5的前后删除之间。

6N+5，当N=0时，6N+5=5为素数5本身，删除数应为N=5X，即N=0，5，10，15……。

剩余奇数数列N为5X+1，2，3，4，将N=5X+1，2，3，4代入6N+5得等差数列：11，17，23，29；41，47，53，59；71，77，83，89；101，107，113，119；……。

6N+1，当N=4时，6N+1为素数5的删除数，删除数应为N=5X+4，即N=4，9，14，19，……。界于素数5前后删除数之间的等差数列，N应为（5X+4）+1，2，3，4，将N=（5X+4）+1，2，3，4代入6N+1得等差数列为：31，37，43，49；61，67，73，79；91，97，103，109；121，127，133，139；……。

（3）、30N+1，7，11，13，17，19，23，29。这8个公差为30的等差数列，排除了素数删除因子2、3、5的删除，下一个素数7是必然要进行删除的，这8个等差数列中，每一个等差数列要保留6个连续等差数不被素数7删除，那么，6个连续等差数必然界于下一个素数7的前后删除之间。

首先，必须寻找到各等差数列中，素数7的第一个删除数，然后再加上7X为后面的删除数。如何寻找这8个等差数列中，素数7的第一个删除数呢？请看《解除三大误区创建三个参数》中的删除参数表，我把该表简单地移过来为：

参数：1， 7，11，13，17，19，23，29，

7   ，7，19，17， 1，29，13，11，23

这里举2个例子：

30N+19，从参数表看：19=7*7，这里的19=7*7是指:(30N+7）*（30N+7）可以在30N+19的奇数数列中寻找到删除数字，而7属于30N+7数列中的数字（下同）。即30N+19=7*7，得N=1，删除数N=7X+1，即N=1，8，15，22，……。剩余6个连续奇数的等差数列为：N=（7X+1）+1，2，3，4，5，6，代入30N+19得等差数列为：79，109，139，169，199，229；289，319，349，379，409，439；……。

30N+13，从参数表看：13=7*19，即30N+13=7*19，得N=4，删除数N=7X+4，剩余6个连续奇数的等差数列为：N=（7X+4）+1，2，3，4，5，6，代入30N+13得等差数列为：163，193，223，253，283，313；373，403，433，463，493，523；……。

（4）、210N+1，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97，101，103，107，109，113，121，127，131，137，139，143，149，151，157，163，167，169，173，179，181，187，191，193，197，199，209，这48个公差为210的等差数列，排除了素数删除因子2、3、5、7的删除，下一个素数11必然要对这48个等差数列进行删除，任何一个等差数列要保留10个连续等差数不被素数11删除，必然界于下一个素数11的前后删除之间。

首先，必须寻找到各个等差数列中，素数11的第一个删除数，然后再加上11X为后面的删除数。如何寻找这48个等差数列中，素数11的第一个删除数呢？还得把删除参数表的一部份简单地移过来（由于表与页面的关系，我在此只有写成两排）：

参数：1， 11， 13， 17， 19， 23， 29， 31， 37， 41， 43， 47， 53， 59， 61， 67， 71， 73， 79， 83， 89， 97，101，103，107，109，113，121，127，131，137，139，143，149，151，157，163，167，169，173，179，181，187，191，193，197，199，209。

11  ：11，121，143，187，209， 43，109，131，197， 31， 53， 97，163， 19， 41，107，151，173， 29， 73，139， 17， 61， 83，127，149，193， 71，137，181， 37， 59，103，169，191， 47，113，157，179， 13， 79，101，167，211， 23， 67， 89，199。

当您看到这一删除参数表时，您可能会说这是多此一举！非也，这里只是说的该参数表应用的一个方面，这里搬来的也是该参数表的一部份。整个参数表可以查到整个删除因子的删除参数。您应该发现每一个对应关系都是唯一的，这与乘法99表是一样的。这是题外话。

这里对48个等差数列，也只举2个数列：

210N+41，从参数表看：41=11*61，即210N+41=11*61，得N=3，删除数N为11X+3，剩余10个连续奇数的等差数列为：N=（11X+3）+1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，代入210N+41得等差数列为：881，1091，1301，1511，1721，1931，2141，2351，2561，2771；3191，3401，3611，3821，4031，4241，4451，4661，4871，5081；……。

210N+169，从参数表看：169=11*149，即210N+169=11*149，得N=7，删除数N为11X+7，剩余奇数等差数列为：N=（11X+7）+1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，代入210N+169得奇数等差数列为：1849，2059，2269，2479，2689，2899，3109，3319，3529，3739；4159，4369，4579，4789，4999，5209，5419，5629，5839，6049；……。

由于，表与页面关系，就到这里，………………。

下一个素数减去1的等差素数数列的基础，就是这样对小素数删除因子的删除进行逐个排除，逐个建立起来的。

说到这里，学生要给各位老师汇报一下：这里存在着与下一个素数相同个数的特别等差奇数数列基础，那就是以下一个素数删除因子为首项的等差数列；素数3删除公差为2的等差数列时，以素数3为首项有：3，5，7；素数5删除公差为6的等差数列时，以素数5起头有：5，11，17，23，29；素数7删除公差为30的等差数列时，以素数7起头有：7，37，67，97，127，157，187；……。

2、等差数列必须满足不被其它大素数删除

如果说，上面所计算出来的下一个素数减去1的等差数数列，能够避开其它大素数的删除，那么，它就是下一个素数减去1的等差素数数列。

举2个例子吧：

（1）、对等差奇数数列：5，11，17，23，29的判定。√29≈5，最大素数删除因子为5，这里素数5已经进行了删除，它就是等差素数数列无疑。

（2）、对等差奇数数列：7，37，67，97，127，157，187的判定。√187≈13，这里已经排除了素数删除因子2、3、5和7的删除，剩余素数11和13的删除：

素数11的删除：首项7，7/11余数为-4，公差30，30/11余数为8，有[6*8+（-4）]/11=4，即1+6=7，第7项等差数会被素数11删除，剩余前面6个等差数；

素数13的删除：首项7/13余数为-6，公差30，30/13余数为4，有[8*4+（-6）]/13=2，即1+8=9，第9项等差数才会被素数13删除，不在这7个等差数之列，没有影响。

结果，该等差数列虽然被素数11删除了最后一项，但加上素数7本身，我们仍然算它成立吧！

注：上面所说的素数对参数，实际上就是等差数列的项，即，该项为素数之意。